Fabietto206
29-06-2008, 16:21
Sono 3 esercizi di un tema d'esame, li ho risolti in parte e quindi mi potete dire se li ho risolti correttamente?
Una fila di n cammelli legati tra loro percorre un ponte. I cammelli sono legati in modo tale che se
l’i-esimo cammello cade dal ponte, allora tutti i cammelli successivi (cioe’ quelli di posto i+1, i+2,
…, n) cadono di conseguenza. Diremo in tale situazione che i e’ il cammello che cade per primo e
che i cammelli i+1, i+2, …, n sono quelli che cadono di conseguenza. Se ciascun cammello che
transita sul ponte ha una probabilita’ indipendente p di cadere per primo, calcolare:
1) la probabilita’ che nessun cammello cada dal ponte ;
2) la probabilita’ che esattamente n/2 cammelli cadano dal ponte (contando sia quello che cade
per primo che quelli che cadono di conseguenza);
3) il numero medio di cammelli che cadono dal ponte.
Nota: In tutti i casi esprimere le quantita’ richieste in termini di n e p.
1) P(nessuno cade) = (1-p)^n
2) p^(n/2)
3) media = [1-(1-p)] / (1-p)
Una compagnia aerea vuole stimare il tasso di carico massimo dei propri aerei. Su un dato volo,
chiamiamo P il peso caricato sull’aereo. Assumiamo che P sia una variabile casuale uniforme su
[0,a], con a parametro positivo. La compagnia osserva durante un anno il peso caricato su 10000
voli. Siano P1, P2, .., P10000 tali osservazioni. Supponendo che ciascuna di queste osservazioni siano
variabili casuali indipendenti uniformemente distribuite su [0,a], fornire:
1) uno stimatore di massima verosimiglianza per a;
2) uno stimatore per intervalli per campioni numerosi per a, di livello δ = 0.01.
3) Stabilire (giustificando la risposta) se lo stimatore del punto 1) e' o meno asintoticamente
normale.
1) a = media campionaria = (P1 +...+ P10000) / 10000
2) P(-z <= Q <= z) = 0.01 Q = (media camp.-a)/(√1/(n*J(media camp))) e quindi a è compreso tra media camp. ± z / √n*J(media camp.)
3) ???
Siano X e Y due variabili casuali con densità discreta congiunta
fX,Y(x,y) = 1/5 I{0,0}(x,y) + 1/5 I{0,1}(x,y)+ 1/10 I{1,0}(x,y) + 3/10 I{1,1}(x,y) + 1/5 I{2,1}(x,y)
1) Calcolare le densita’ (marginali) di X e di Y.
2) Definita Z la variabile Z = 3X+Y, calcolare E[Z].
3) Definita W la variabile W = X*Y, calcolare E[W].
1) fX(x) = 2/5 I{0,1}(x) + 1/5 I{2}(x)
fY(y) = 3/10 I{0}(y) + 7/10 I{1}(y)
2) ??
3) ??
Una fila di n cammelli legati tra loro percorre un ponte. I cammelli sono legati in modo tale che se
l’i-esimo cammello cade dal ponte, allora tutti i cammelli successivi (cioe’ quelli di posto i+1, i+2,
…, n) cadono di conseguenza. Diremo in tale situazione che i e’ il cammello che cade per primo e
che i cammelli i+1, i+2, …, n sono quelli che cadono di conseguenza. Se ciascun cammello che
transita sul ponte ha una probabilita’ indipendente p di cadere per primo, calcolare:
1) la probabilita’ che nessun cammello cada dal ponte ;
2) la probabilita’ che esattamente n/2 cammelli cadano dal ponte (contando sia quello che cade
per primo che quelli che cadono di conseguenza);
3) il numero medio di cammelli che cadono dal ponte.
Nota: In tutti i casi esprimere le quantita’ richieste in termini di n e p.
1) P(nessuno cade) = (1-p)^n
2) p^(n/2)
3) media = [1-(1-p)] / (1-p)
Una compagnia aerea vuole stimare il tasso di carico massimo dei propri aerei. Su un dato volo,
chiamiamo P il peso caricato sull’aereo. Assumiamo che P sia una variabile casuale uniforme su
[0,a], con a parametro positivo. La compagnia osserva durante un anno il peso caricato su 10000
voli. Siano P1, P2, .., P10000 tali osservazioni. Supponendo che ciascuna di queste osservazioni siano
variabili casuali indipendenti uniformemente distribuite su [0,a], fornire:
1) uno stimatore di massima verosimiglianza per a;
2) uno stimatore per intervalli per campioni numerosi per a, di livello δ = 0.01.
3) Stabilire (giustificando la risposta) se lo stimatore del punto 1) e' o meno asintoticamente
normale.
1) a = media campionaria = (P1 +...+ P10000) / 10000
2) P(-z <= Q <= z) = 0.01 Q = (media camp.-a)/(√1/(n*J(media camp))) e quindi a è compreso tra media camp. ± z / √n*J(media camp.)
3) ???
Siano X e Y due variabili casuali con densità discreta congiunta
fX,Y(x,y) = 1/5 I{0,0}(x,y) + 1/5 I{0,1}(x,y)+ 1/10 I{1,0}(x,y) + 3/10 I{1,1}(x,y) + 1/5 I{2,1}(x,y)
1) Calcolare le densita’ (marginali) di X e di Y.
2) Definita Z la variabile Z = 3X+Y, calcolare E[Z].
3) Definita W la variabile W = X*Y, calcolare E[W].
1) fX(x) = 2/5 I{0,1}(x) + 1/5 I{2}(x)
fY(y) = 3/10 I{0}(y) + 7/10 I{1}(y)
2) ??
3) ??