[ANALISI] Studio di funzione a 1 e N variabili: come procedere?

[Matrixbob]

Ciao ragazzi, sono un po' in ballato mentalmente. :(
Soprattuto funzioni "semplici" di questo tipo:

xy + log(x)
o
x^2 - 2xy
il cui dominio è A = {(x,y) t.c. y >= x^2}


Io penso che l'agoritmo che segue vale sia per R che R^2 o R^n:

1]
CE di f per vedere dove è definito il dominio della funzione.
Se ho più condizioni devo prendere la condizione che soddisfa entrambe.
Praticamente è un sistema di condizioni dove scelgo la condizione che le verifica tutte.

2]
Studio il segno della funzione, cioè f >= 0.
Anche qui se ho più condizioni devo prendere la condizione che le soddisfa tutte.
Quindi NON stiamo parlando di prodotto del segno,
ma di vedere dove le condizioni sono verificate contemporanemante.

3]
Dopo lo studio del segno posso iniziare a disegnare il grafico,
ovvero almeno le zone dove la f è POS e NEG.

4]
Poi faccio i limiti e li disegno.

5]
Faccio le derivate prime.

6]
Studio il segno della derivata prima, , cioè f ' >= 0,
per sapere dove decresce e cresce la funzione.

6.1]
Ne faccio anche il CE di f'.
Serve in R^n per vedere dove le derivate NON esistono.

7]
Una volta che ho tutto la disegno e faccio la prova dei punti
per vedere dove è il "luogo dei punti" della f.

8]
Adesso se voglio trovare i minimi ed i massimi devo studiare i "PUNTI CRITICI",
IO NE CONOSCO DI 3 TIPI:

8.A] Interni dove le derivate = 0:
risolvibili con matricce Hessiana

8.B] Interni dove le derivate NON esistono:
risolvibile con disequazioni usando la definizione di massimo e minimo.
Prendo il valore della funzione dove NON esistono le derivate.
Facciamo sia ad esempio 0 e poi pongo:
f(X,Y) >= 0

8.C] Sui bordi:
li sto studiando adesso.. :(

[hibone]

Ciao ragazzi, sono un po' in ballato mentalmente. :(
Soprattuto funzioni "semplici" di questo tipo:

xy + log(x)
o
x^2 - 2xy
il cui dominio è A = {(x,y) t.c. y >= x^2}


Io penso che l'agoritmo che segue vale sia per R che R^2 o R^n:



si ma le funzioni che hai considerato non sono polinomiali semplici...


quindi devi in genere separare le variabili e valutare come varia la variabile dipendente al variare di quella indipendente andando da meno infinito a più infinito, passando per eventuali punti di discontinuità..

ad esempio la prima è una funzione che si può scrivere come -log(x)/x

ha problemi per x<0 e x=0,

inoltre ricorda che le funzioni trascendenti sono noiosette.. con gli infiniti... e gli zeri...
sciau...

http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Studio_Funzione/Studio_Funzione_Schema_Riassuntivo.htm

[DarKilleR]

consideri la funzione per ogni variabile, ossia fissi prendi X e consideri Y come se fosse un numero e trovi il CE

prendi la Y e consideri X come se fosse un numero e trovi il CE...

l'intersezione dei due CE è il tuo CE totale...

[Matrixbob]

CMQ è vero quando dico che il CE è 1 sistema tra le singole condizioni da soddisfare?
Ma NON un prodotto dei segni ma una verifica?

Tra l'altro non mi ricordo se c'è differenza tra il prodotto sei segni e la verifica o è la stessa cosa. :boh:

Altrimenti quando si usa il prodotto sei segni? :fagiano:

[Matrixbob]

http://img258.imageshack.us/img258/7996/scansione0011zh7.jpg

http://img519.imageshack.us/img519/6781/scansione0012kc7.jpg

[Matrixbob]

Prendo spunto da:
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Esempi_funzioni/rf3.htm

Forse il segno della funzione è dato dal prodotto dei segni:

http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Esempi_funzioni/rf3_file/image002.jpg

Mentre il CE è una verifica delle condizioni soddisfatte:
si può dire l'intersezione delle singole condizioni di esistenza a sistema? :mbe:

[hibone]

CMQ è vero quando dico che il CE è 1 sistema tra le singole condizioni da soddisfare?
Ma NON un prodotto dei segni ma una verifica?

Tra l'altro non mi ricordo se c'è differenza tra il prodotto sei segni e la verifica o è la stessa cosa. :boh:

Altrimenti quando si usa il prodotto sei segni? :fagiano:

uhm...

il prodotto dei segni ti serve per vedere il segno complessivo di una funzione ottenibile come prodotto di funzioni, e dato che il prodotto dei segni di solito si fa "per intervalli", allo stesso tempo si individua l'intersezione tra i campi di esistenza...

Ad oggi è tanto che non tocco analisi, comunque ad occhio e croce il prodotto dei segni puoi farlo su diverse cose:
sulla funzione data: vedi se sta nel settore positivo o negativo del piano cartesiano
sulle derivate prime: vedi crescenza e decrescenza della funzione,
sulle derivate seconde: vedi concavità e convessità....

in sostanza ti permette di vedere come la funzione attraversa il piano al variare della grandezza indipendente...

[stbarlet]

CMQ è vero quando dico che il CE è 1 sistema tra le singole condizioni da soddisfare?
Ma NON un prodotto dei segni ma una verifica?

Tra l'altro non mi ricordo se c'è differenza tra il prodotto sei segni e la verifica o è la stessa cosa. :boh:

Altrimenti quando si usa il prodotto sei segni? :fagiano:

ovvio che c'è differenza fra verifica e segni. i segni li guardi ad esempio con una fratta. la verifica è differente, perchè è vera solo se sono vere tutte le condizioni.

[Matrixbob]

ovvio che c'è differenza fra verifica e segni. i segni li guardi ad esempio con una fratta. la verifica è differente, perchè è vera solo se sono vere tutte le condizioni.

Mi fai un esempio pratico esplicante delle 2 cose così poi NON faccio + confusione?

Quindi è vero quello che ho detto poco sopra (QUI) (http://www.hwupgrade.it/forum/showpost.php?p=19788852&postcount=6)?

[Matrixbob]

uhm...

il prodotto dei segni ti serve per vedere il segno complessivo di una funzione ottenibile come prodotto di funzioni, e dato che il prodotto dei segni di solito si fa "per intervalli", allo stesso tempo si individai l'intersezione tra i campi di esistenza...


Come dicono poco + sotto: no.

[Matrixbob]

Ad oggi è tanto che non tocco analisi, comunque ad occhio e croce il prodotto dei segni puoi farlo su diverse cose:
sulla funzione data: vedi se sta nel settore positivo o negativo del piano cartesiano
sulle derivate prime: vedi crescenza e decrescenza della funzione,
sulle derivate seconde: vedi concavità e convessità....

Si, si usa per tutte queste (in uno studio di funzione), ma NON x il campo di esistenza.

[stbarlet]

Mi fai un esempio pratico esplicante delle 2 cose così poi NON faccio + confusione?

Quindi è vero quello che ho detto poco sopra (QUI) (http://www.hwupgrade.it/forum/showpost.php?p=19788852&postcount=6)?

mm chessò.. prendi un sistema di due disuguaglianze fratte. per capire dove una fratta è maggiore di zero fai i segni.

Quando hai trovato le soluzioni di entrambe le disequazioni, devi trovare dove sono vere entrambe per risolvere il sistema ( e ovviamente falso per falso non fa vero!).

[stbarlet]

Come dicono poco + sotto: no.



:mbe: Anche se il campo di esistenza puoi impostarlo come un sistema fra R (o quello che ti pare) e le condizioni di esistenza, quando vai a cercarti i segni, ritroverai un qualche modo ( come discontinuità oppure dominio limitato ) le condizioni del CE.

[hibone]

Come dicono poco + sotto: no.

Si, si usa per tutte queste (in uno studio di funzione), ma NON x il campo di esistenza.

non fraintendermi, non ho detto che lo studio del segno della funzione serve per valutare il campo di esistenza, non sono assolutamente la stessa cosa.

dico che le due analisi procedono in modo simile, quindi in genere, ( ma non sempre ) possono essere portate avanti sullo stesso diagramma...

provo ad essere più chiaro :sperem: :
considera una funzione che puoi scrivere come prodotto di più fattori:
( per una funzione algebrica questo può sempre essere fatto )

quando si valuta il segno della funzione, si divide il dominio in intervalli contigui ( in base agli zeri e ai punti di discontinuità di solito ) e per ciascun intervallo riporti il valore di ciascun fattore, tale valore può essere:
"positivo", "negativo", "non esiste"

nel valutare il campo di esistenza in modo simile dividi il dominio in intervalli contigui ( in base ai punti di discontinuità ) e per ciascun intervallo riporti il valore di ciascun fattore. In questo caso i possibili valori sono:

"esiste" , "non esiste"

dato che lo schema di analisi è lo stesso e gli intervalli del dominio per il campo di esistenza si sovrappongono agli intervalli nell'analisi dei segni, puoi portare avanti insieme le due analisi... ( nota che se la funzione esiste può essere positiva negativa o nulla, quindi i valori "positivo", "negativo" dell'analisi del segno, confluiscono nel valore "esiste", dell'analisi del CE )

ovviamente, come detto, le due valutazioni non sono la stessa cosa, e andrebbero fatte separatamente, ma dovresti fare 2 volte il calcolo dei punti di discontinuità e due volte lo scherma per ciascuno dei fattori, per arrivare a due schemi distinti ma chiaramente sovrapponibili...

[Matrixbob]

OK forse ho capito, vi faccio io un esempio e voi ditemi solo se ho capito o no. :)

http://img144.imageshack.us/img144/4273/scansione0013hv4.jpg

Forse ho cannoto che l'uguale della frazione posso metterlo ad uno tra Numeratore e Denominatore.
Forse non devo metterlo a entrambi contemporanemante. Anche perchè così il Denominatore si annulla.

Si, dovrei aver cappellato solo quello ed il procedimento invece è corretto, ma attendo conferme.

[hibone]

OK forse ho capito, vi faccio io un esempio e voi ditemi solo se ho capito o no. :)

http://img144.imageshack.us/img144/4273/scansione0013hv4.jpg

Forse ho cannoto che l'uguale della frazione posso metterlo ad uno tra Numeratore e Denominatore.
Forse non devo metterlo a entrambi contemporanemante. Anche perchè così il Denominatore si annulla.

Si, dovrei aver cappellato solo quello ed il procedimento invece è corretto, ma attendo conferme.

allora...

il valore -1 è compreso... il valore 2 no ( è a denominatore ) il bello è che valutando il segno li hai inclusi entrambi, valutando il ce li hai esclusi entrambi :P
per il resto è tutto corretto....

ora se osservi i due schemi sostanzialmente sono uguali, cambia ciò che valuti della funzione, ma gli intervalli ( almeno in questo caso ) coincidono, quindi al limite puoi pensare di tracciare una volta sola lo schema...

Sono comunque due valutazioni differenti :)