somma degli interi positivi

[CioKKoBaMBuZzo]

ho letto una cosa che mi ha turbato parecchio:
la somma di tutti gli interi positivi è uguale a -1/2 :eek:

questo risultato sarebbe già abbastanza sconvolgente, se non fosse che nel libro in questione dopo una pagina dice che è uguale a -1/12...

primo: quale risultato è giusto?
secondo: come si è arrivati a questo rusiltato?

[p.NiGhTmArE]

come fa la somma di tutti gli interi positivi a essere un numero finito? :mbe:
negativo per di più? :mbe:

[danny2005]

come fa la somma di tutti gli interi positivi a essere un numero finito? :mbe:
negativo per di più? :mbe:

Mah...forse è qualche successione che converge; avrà letto male o ha fumato roba buona....:D

[stbarlet]

ho letto una cosa che mi ha turbato parecchio:
la somma di tutti gli interi positivi è uguale a -1/2 :eek:

questo risultato sarebbe già abbastanza sconvolgente, se non fosse che nel libro in questione dopo una pagina dice che è uguale a -1/12...

primo: quale risultato è giusto?
secondo: come si è arrivati a questo rusiltato?

direi di no, va contro peano.

[CioKKoBaMBuZzo]

oh vi assicuro che c'è scritto proprio quello :D

pagina 141 del libro "dietro lo specchio" di lawrence krauss

"quando viene analizzata sulla base di adeguati strumenti matematici, sviluppati appositamente per gestire serie infinite, si può dimostrare che la somma della serie 1+2+3+4+5+... non è eguale all'infinito, ma piuttosto a -1/2!"

però 2 pagine dopo dice che è uguale a -1/12 (il che sarebbe ugualmente sconvolgente)

[stbarlet]

non so se sia una distorsione del traduttore, ma quando dice "piuttosto" credo che la cosa sia abbastanza arbitraria.

[CioKKoBaMBuZzo]

no perchè nel discorso ha senso che sia negativo.

quando nell'altra pagina dice che è uguale a -1/12, lo dice in realzione alla teoria delle stringhe duali (credo si chiami così...quella di gabriele veneziano).
perchè la teoria soddisfi l'unitarietà (considerando tutti i possibili risultati di un esperimento, se si esegue quell'esperimento si manifesterà uno di quei risultati) c'è bisogno di uno spazio a 26 dimensioni, in modo che 1+[1/2(D-2)(1+2+3+4+5+....)]=0
dove D è il numero di dimensioni dello spazio...

[lowenz]

Ci vuole Zio Silvio :D

[Banus]

però 2 pagine dopo dice che è uguale a -1/12 (il che sarebbe ugualmente sconvolgente)
Il numero -1/2 è probabilmente un errore di stampa.
La somma ha perfettamente senso, una volta che si comprende che non è una somma nel senso intuitivo (cioè limite della somma dei primi n termini) :D

In particolare la definizione di "somma" usata è quella che si chiama "somma alla Ramanujan". I particolari sono al di là della mia preparazione matematica, ma quello che viene fatto a grandi linee è esprimere la serie come:

http://operaez.net/mimetex/\zeta(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^x}

Valutata in x=-1. La formula definisce la famosa funzione zeta di Riemann, ma in una regione di convergenza che non comprende -1.
Quello che viene fatto quindi è considerare una funzione olomorfa estesa su tutto il piano complesso che coincide con i valori della serie nella regione di convergenza (un teorema ne garantisce l'unicità) e prendere il valore della funzione al di fuori della regione come definizione della somma della serie :D
In questo caso ζ(-1) = -1/12, da qui il risultato.

ZioSilvio se passa di qui probabilmente lo saprà spiegare ancora meglio :D

[p.NiGhTmArE]

ok, mi eclisso :asd:

[stbarlet]

Il numero -1/2 è probabilmente un errore di stampa.
La somma ha perfettamente senso, una volta che si comprende che non è una somma nel senso intuitivo (cioè limite della somma dei primi n termini) :D

In particolare la definizione di "somma" usata è quella che si chiama "somma alla Ramanujan". I particolari sono al di là della mia preparazione matematica, ma quello che viene fatto a grandi linee è esprimere la serie come:

http://operaez.net/mimetex/\zeta(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^x}

Valutata in x=-1. La formula definisce la famosa funzione zeta di Riemann, ma in una regione di convergenza che non comprende -1.
Quello che viene fatto quindi è considerare una funzione olomorfa estesa su tutto il piano complesso che coincide con i valori della serie nella regione di convergenza (un teorema ne garantisce l'unicità) e prendere il valore della funzione al di fuori della regione come definizione della somma della serie :D
In questo caso ζ(-1) = -1/12, da qui il risultato.

ZioSilvio se passa di qui probabilmente lo saprà spiegare ancora meglio :D


quel x=-1 nasconde qualcosa :mbe:

[CioKKoBaMBuZzo]

ok...non ho capito niente :asd:

ci ripenserò quando avrò le conoscenze per capire almeno il procedimento :D

[bjt2]

Il numero -1/2 è probabilmente un errore di stampa.
La somma ha perfettamente senso, una volta che si comprende che non è una somma nel senso intuitivo (cioè limite della somma dei primi n termini) :D

In particolare la definizione di "somma" usata è quella che si chiama "somma alla Ramanujan". I particolari sono al di là della mia preparazione matematica, ma quello che viene fatto a grandi linee è esprimere la serie come:

http://operaez.net/mimetex/\zeta(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^x}

Valutata in x=-1. La formula definisce la famosa funzione zeta di Riemann, ma in una regione di convergenza che non comprende -1.
Quello che viene fatto quindi è considerare una funzione olomorfa estesa su tutto il piano complesso che coincide con i valori della serie nella regione di convergenza (un teorema ne garantisce l'unicità) e prendere il valore della funzione al di fuori della regione come definizione della somma della serie :D
In questo caso ζ(-1) = -1/12, da qui il risultato.

ZioSilvio se passa di qui probabilmente lo saprà spiegare ancora meglio :D

Ah... Ricordo di metodi matematici per l'ingegneria... :O
Confermo. Penso che bisognerebbe calcolare (se esiste) il limite di quella funzione per x tendente a -1... ;) Chi si cimenta?

[Banus]

Penso che bisognerebbe calcolare (se esiste) il limite di quella funzione per x tendente a -1... ;) Chi si cimenta?
Non è necessario prendere il limite, la funzione zeta è continua in -1 (di più, è olomorfa) e quindi si può calcolare direttamente il suo valore :D
Il valore è già stato calcolato ed è -1/12... chi non si fida può usare questa formulaccia (http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Riemann_zeta_function&oldid=165917777#The_functional_equation):

http://operaez.net/mimetex/\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)

e controllare, ricordando che:

http://operaez.net/mimetex/%5Czeta(2)%20=%20%5Csum_{n=0}^{%5Cinfty}%5Cfrac{1}{n^2} = %5Cfrac{\pi^2}{6}

Ma non ne vale la pena :p
E non chiedetemi come è stata ottenuta la prima formula :D :hic:

[Beppe82]

E non chiedetemi come è stata ottenuta la prima formula :D :hic:


ad occhio direi teorema dei residui, ma :

1) c'è grossa probabilità che abbia detto una caSSata
2) oltre a questo non mi vieen in mente altro

:asd:

[Ziosilvio]

la somma di tutti gli interi positivi è uguale a -1/2 :eek:

questo risultato sarebbe già abbastanza sconvolgente, se non fosse che nel libro in questione dopo una pagina dice che è uguale a -1/12
Direi che ha già spiegato tutto molto bene Banus nei suoi due post, quindi non mi pronuncio.
pagina 141 del libro "dietro lo specchio" di lawrence krauss

"quando viene analizzata sulla base di adeguati strumenti matematici, sviluppati appositamente per gestire serie infinite, si può dimostrare che la somma della serie 1+2+3+4+5+... non è eguale all'infinito, ma piuttosto a -1/2!"
Però non dice quali sono questi metodi. Bah...

[bjt2]

Non è necessario prendere il limite, la funzione zeta è continua in -1 (di più, è olomorfa) e quindi si può calcolare direttamente il suo valore :D
Il valore è già stato calcolato ed è -1/12... chi non si fida può usare questa formulaccia (http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Riemann_zeta_function&oldid=165917777#The_functional_equation):

http://operaez.net/mimetex/\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)

e controllare, ricordando che:

http://operaez.net/mimetex/%5Czeta(2)%20=%20%5Csum_{n=0}^{%5Cinfty}%5Cfrac{1}{n^2} = %5Cfrac{\pi^2}{6}

Ma non ne vale la pena :p
E non chiedetemi come è stata ottenuta la prima formula :D :hic:

La http://operaez.net/mimetex/\Gamma è quella funzione olomorfa che per s intero positivo vale n! (o (n-1)! , non mi ricordo mai... :D ) ?

[Ziosilvio]

La http://operaez.net/mimetex/\Gamma è quella funzione olomorfa che per s intero positivo vale n! (o (n-1)! , non mi ricordo mai... :D ) ?
(n-1)!

Più in dettaglio,

http://operaez.net/mimetex/\Gamma(z)=\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt

per ogni z che non sia un intero non positivo.
L'identità (valida per n intero positivo) Gamma(n)=(n-1)! si ottiene facilmente integrando per parti.
Osserva che Gamma(z+1)=z*Gamma(z), mentre il fattoriale soddisfa (n+1)!=(n+1)*n!.
EDIT: leggo inoltre QUI (http://en.wikipedia.org/wiki/Bohr-Mollerup_theorem) che, se f : (0,+oo) --> IR soddisfa
1) f(1)=1,
2) f(x+1)=x*f(x) per ogni x>0, e
3) ln f(x) è una funzione convessa
allora f(x)=Gamma(x) per ogni x>0.

[CioKKoBaMBuZzo]

Però non dice quali sono questi metodi. Bah...
bhè è un libro di divulgazione scientifica...una storia romanzata delle dimensioni addizionali :D

[lowenz]

prendere il valore della funzione al di fuori della regione come definizione della somma della serie
Mi sfugge il motivo di questo :D

[Banus]

Mi sfugge il motivo di questo :D
Perchè deve esserci un motivo? :mad: Questa è arte, non ha bisogno di un senso! :ciapet:

A parte gli scherzi, è utile quando si vuole ottenere un risultato finito da una serie divergente; ad esempio in fisica con la procedura di rinormalizzazione. Una somma del tipo 1+2+... compare nel calcolo della forza di Casimir e in un risultato della teoria delle stringhe, e penso che Krauss l'abbia citato per quest'ultimo motivo :D

[lowenz]

Perchè deve esserci un motivo? :mad: Questa è arte, non ha bisogno di un senso! :ciapet:

A parte gli scherzi, è utile quando si vuole ottenere un risultato finito da una serie divergente; ad esempio in fisica con la procedura di rinormalizzazione. Una somma del tipo 1+2+... compare nel calcolo della forza di Casimir e in un risultato della teoria delle stringhe, e penso che Krauss l'abbia citato per quest'ultimo motivo :D
LOL :p

A proposito, ma c'è qualcosa di certo a riguardo della forza di Casimir? :D

[CioKKoBaMBuZzo]

mi è arrivato un pm in cui mi è stato detto che però quel risultato va contro i teoremi della permanenza del segno e dell'unicità del limite...ma quindi è accettato o no dalla comunità scientifica?

[Ziosilvio]

prendere il valore della funzione al di fuori della regione come definizione della somma della serie
Mi sfugge il motivo di questo :D
Il motivo è il Principio di identità delle funzioni analitiche, che dice la cosa seguente: data una funzione analitica f definita su un aperto connesso A del piano complesso, se l'insieme dei punti di A in cui f si annulla ha un punto di accumulazione, allora f è identicamente nulla in A.
Ne segue che, se il sottoinsieme U del piano complesso ha un punto di accumulazione, e se f e g sono funzioni analitiche definite su un aperto connesso A del piano complesso che contiene U, se f e g sono uguali su U, allora sono uguali su tutto A.

Ora, per s reale maggiore di 1, la somma della serie degli 1/n^s definisce una funzione f(s).
Per il Principio di identità, tale funzione avrà al più un prolungamento analitico g su qualsiasi aperto connesso del piano complesso che contenga (1,+oo), e che si potrà a buon diritto identificare con f. Da qui l'affermazione di Banus.

[Ziosilvio]

mi è arrivato un pm in cui mi è stato detto che però quel risultato va contro i teoremi della permanenza del segno e dell'unicità del limite...ma quindi è accettato o no dalla comunità scientifica?
Sì, perché in quel contesto la serie 1+2+... non indica il limite della quantità 1+2+...+n per n-->oo, ma il valore in z=-1 dell'unica funzione f, analitica nell'intero piano complesso privato del punto z=+1, e tale che f(s)=1/1^s+1/2^s+... per ogni s reale maggiore di 1.

EDIT: spero che il signore del pvt abbia letto questo post.

[Ziosilvio]

Per chi volesse approfondire, a QUESTO LINK (http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/) trovate dei PDF con l'articolo originale di Riemann sulla funzione zeta (in tedesco) e una sua traduzione in inglese.
Inoltre, per chi bazzica Amazon punto com, dovrebbe esserci un volumetto Dover interamente dedicato alla funzione zeta... ci sto facendo un pensierino...