Help meccanica quantistica

[dario fgx]

Salve
sto studiando fisica teorica.
tuttavia la trattazione del mio prof. è troppo formale per il mio cervelluzzolo.
ho quindi ripiegato su un libro:Quantum Physics il quale mi da una più chiara interpretazione fisica mi sembrerebbe.
Ora sono giunto alla questione dell'equazione di schroendinger time independent nel caso del gradino di potenziale.
La procedura utilizzata è quella di studiare il sistema suddividendolo in 2 parti
posto V=Potenziale
1) V=0 e si determina facilmente la soluzione dell'equazione
2) V=K dopo il gradino e si cerca la soluzione (e la si determina è qui che nn capisco ma procediamo con ordine)

Una volta trovate le 2 soluzioni si cerca quella adeguata a tutto il sistema "unendo" le due soluzione nel punto di variazione del potenziale in maniera che soddisfino ai requisiti di finitezza e continuità essenziali per le "eigenfunctions"

Il caso che sta trattando ora è quello di E<V quindi quello con riflessione della particella che urta lo step di potenziale.

Ora veniamo al mio problema , quello al punto 2):
suppone una soluzione del tipo ψ=exp-kx
e poi la verifica
ma per motivare questa scelta dice che:
"non ci aspettiamo che sia una funzione oscillatoria. ... perchè l'energia totale E è minore dell'energia potenziale V (che è il valore costante dopo lo step) nella regione di interesse.La soluzione deve quindi essere una funzione che gradualmente si avvicini all'asse x."
Perchè deve essere cosi' la funzione nel caso E sia < di V ??
Sono tornato indietro ed ho trovato un grafico dove dice esplicitamente che nella regione in cui (V-E) è negativo la funzione ha infatti proprio quell'andamento, ma questo è il caso era il caso dell'oscillatore armonico legato quando si superano gli estremi di oscillazione e nn capisco il nesso con il caso che sto vedendo io ora.

Chi mi aiuta?
Grazie

[Lucrezio]

Se vai nell'indice c'è una discussione dove si parla di effetto tunnel:
http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1273997&page=2
A pagina due e a pagina 4 ci sono i miei interventi dove faccio un po' di conti, se ti servono altri chiarimenti chiedi!

[dario fgx]

visto e risposto.
la mia domanda è:
non capisco perchè deve essere scelta una funzione del tipo:
ψ=exp-kx
per descrivere la zona 2)
solo sulla base dell'osservazione che:
E<V : NO funzione oscillatoria
La soluzione deve asintoticamente toccare l'asse x.

Almeno stando a quello che dice il mio libro.

[Zontar]

visto e risposto.
la mia domanda è:
non capisco perchè deve essere scelta una funzione del tipo:
ψ=exp-kx
per descrivere la zona 2)
solo sulla base dell'osservazione che:
E<V : NO funzione oscillatoria
La soluzione deve asintoticamente toccare l'asse x.

Almeno stando a quello che dice il mio libro.

Nel gradino di potenziale la soluzione generale dell'eq di shrodinger "sul gradino" se E<0 è data dalla somma di due esponenziali, diciamo:

ψ=A*exp(kx)+B*exp(-kx)

dove k non te lo scrivo ma vale sqrt(2m....

Dove è l'inghippo ?
a questo punto tu però sai che una delle proprietà fondamentali di ψ è che essa sia limitata in generale e quindi anche per x che tende a infinito. Questo perchè dal punto di vista fisico |ψ|^2 è una densità di probabilità di posizione e quindi non può divergere mai. Qundi A=0 e ti rimane ψ=B*exp(-kx)

[dario fgx]

Bene.
Ma quando io vado a cercare la soluzione dell'equazione di S. per la zona 2 devo suppore che la funzione che me la risolve abbia quel tipo di andamento, cosi' ipotizzo una soluzione e poi la verifico.
Ma perchè ipotizzo proprio quella soluzione?
Cioè chi ha pensato la soluzione perchè è andato a scegliere proprio exp-kx??
qui è l'inghippo

[Zontar]

Be ricordati che tu stai trattando una equazione differenziale del secondo ordine, non è che abbia tutte queste soluzioni dal punto di vista matematico (eufemisimo :D). Se prendi un libro di metodi matematici per la fisica e controlli vedi che la soluzione generale di questo tipo di equazioni è proprio quello. Infatti anche per la zona uno ipotizzi una soluzione di quel tipo (somma di due esponenziali)

[dario fgx]

per la zona uno però è più facile basta mettere v=0 e si vede subito che quella è e nn si scappa.
va bene la prendo cosi'

[Zontar]

per la zona uno però è più facile basta mettere v=0 e si vede subito che quella è e nn si scappa.
va bene la prendo cosi'

Cmq se mi permetti un consiglio io una bella studiata ai metodi di risoluzioni delle eq. differenziali glielo darei perchè è fondamentale. Trovi anche cose "compresse" su internet, almeno per avere un'idea. Questi problemi unidimensionali (buche, barriere) sono tutti molto simili una volta che sei entrato nel ragionamento si risolvono con relativa facilità, quindi cerca di chiarirti bene sia l'aspetto matematico che fisico senza pensare troppo alla risoluzione del caso specifico.
Probabilmente lo saprai già, fondamentalmente i passaggi sono due:

-hai una equazione differenziale, ok risolvo il problema dal punto di vista MATEMATICO fregandomene del significato fisico delle soluzioni

-impongo alle soluzioni che ho trovato un significato fisico richiedendo quindi ad esse particolari proprietà (limitatezza, continuità).

Buono studio

[dario fgx]

si le equazioni differenziali le ho studiate.
si vede che mi devo dare una ripassatina.
tuttavia riapreno il libro nn ho trovato roba tipo
y''+Vy=Ey

[Banus]

si le equazioni differenziali le ho studiate.
si vede che mi devo dare una ripassatina.
tuttavia riapreno il libro nn ho trovato roba tipo
y''+Vy=Ey
Riscrivila così:
y'' = (E-V)y

o così:

y'' + (V-E)y = 0

V ed E sono costanti, e ottieni una classica equazione differenziale omogenea ;)

[dario fgx]

effettivamente devo proprio andarmele a rivedere...

[dario fgx]

Allora problema vorrei una mano se possibile con i potenziali ritardati.
La descrizione matematica del mio pof. non la capisco mica.
chi mi spiega tnx

[dario fgx]

risolto anche questo( a parte la trattazione formale del mio prof.) Grazie all'ottimo libro :
"LA fisica di Feynman"
Lo consiglio a tutti.

[CioKKoBaMBuZzo]

mmm a che livello di complessità tratta gli argomenti?
mi è capitato di leggere altri libri di feynman, però a livello divulgativo :D

[dario fgx]

bhe tieni conto che approfondisce parecchi aspetti che sto trovando in fisica teorica (materia non proprio "amica") privando però la trattazione di qualsiasi (inutile aggiungerei io) formalità.
Ha la capacità di spiegarti le cose + difficili nella maniera + limpida che si possa immaginare.Non risparmia certo le parole descrivere con completezza i fenomeni o le dimostrazioni x sbrigarsi; motiva la maggiorparte dei passaggi.(certo alcuni non li dvi intuire però se non intuisci quelli sei proprio stupidino capi')Inoltre tratta numerosi argomenti e fa tutti i collegamenti del caso.Pensa che ti spiega l'Hamiltoniana presupponendo che tu sappia solo la conservazione dell'energia e come fare 2 integrali.
Inoltre io ho la versione della Zanichelli dove vi è il testo originale e la traduzione.
Si sa che gli inglesi hanno una capacità di arrivare al dunque che ai testi italiani manca.

[CioKKoBaMBuZzo]

Inoltre tratta numerosi argomenti e fa tutti i collegamenti del caso.Pensa che ti spiega l'Hamiltoniana presupponendo che tu sappia solo la conservazione dell'energia e come fare 2 integrali.
ah bhè allora è il mio caso, perchè l'hamiltoniana l'ho sentita solo nominare un pò di volte qui nel forum :D

quindi me lo consigli? fai conto che sono in 5° scientifico


edit: ahhhh ma sono le lectures on physics...ho letto "sei pezzi facili" e sto leggendo "sei pezzi meno facili", che sono alcune tra le lezioni più divulgative delle lectures on physics :D

[dario fgx]

no queste non le conosco.
te lo consiglio vivamente
io l'ho preso al 2° anno di università ma...avrei preferito trovarlo prima.
si compone di tre volumi per un totale di 117€:
Meccanica, Radiazione, Calore.
Elettromagnetismo e materia
Meccanica Quantistica

In particolare il 2° vol. è una miniera d'oro!
Basta parlare del fatto che sono riuscito a spiegarmi cose di cristallografia sulla diffrazione che nessun altro del mio corso avrebbe potuto capire partendo dal solo libro di cristollografia.
Oppure la trattazione sull'algebra vettoriale completa completa e completata di dimostrazioni intuitive sui teoremi di gauss per la divergenza di stokes ed altra roba che sta alla bassa delle equazioni differenziali di Maxwell.
Na roba favolosa che però richiede uno studio a parte rispetto agli appunti che puoi avere tu.

[CioKKoBaMBuZzo]

no queste non le conosco.
no no nel senso...il libro originale di intitola "lectures on physics", che è stato tradotto in italiano come "la fisica di feynman", da cui hanno tratto "sei pezzi facili" e "sei pezzi meno facili"

[dario fgx]

ah si?
nn lo sapevo di sta storia dei pezzi facili e meno facili
io ho i tre volumi che ti dicevo ma nn so se siano quelli facili o quelli difficili

[Lucrezio]

ah si?
nn lo sapevo di sta storia dei pezzi facili e meno facili
io ho i tre volumi che ti dicevo ma nn so se siano quelli facili o quelli difficili

Né gli uni né gli altri!
I sei pezzi facili e i sei pezzi meno facili sono comunque più o meno divulgativi, quelli che intendi tu sono proprio le famose "lectures"!
Io le ho in inglese, sono libri molto ben fatti (in particolare quello di meccanica quantistica è sicuramente il libro che meglio tratta gli esperimenti fondamentali) ma piuttosto impegnativi. Tanto per dare un'idea, quello di elettrodinamica è ad un livello confrontabile - anche se parecchio meno formale - con il quello del Jackson!

[Zontar]

scusate se mi intrometto...parlando di meccanica quantistica...spostandoci sul laser...qualcuno mi può spiegare PERCHE' in un sistema a 2 livelli non si può raggiungere la condizione di inversione di popolazione (e per questo si usano sistemi a 3 e 4 livelli...)??? grazie...

In un sistema a due livelli puoi pompare quanto vuoi, ma massimo puoi raggiungere una situazione di equipopolazione dei due livelli. Questo perchè man mano che tu pompi elettroni nello stato superiore aumenti la probabilità di far emettere in maniera stimolata un atomo che hai appena eccitato appunto perchè stai aumentano la popolazione.
Immaginati la situazione:
all'inizio hai solo il livello fondamentale popolato, inizia a pompare irradiando con una energia uguale alla differenza dei due livelli e vedi che gli elettroni iniziano ad andare nello stato eccitato.
Però ad un certo punto quell'energia che tu mandi causerà l'emissione stimolata di atomi che sono già eccitati (questo perchè c'è una equiprobabilità di eccitare un atomo ma anche di causargli emissione stimolata) e quindi a regime il 50% dei tuoi fotoni ecciterà transizione in alto ed il 50% in basso.

Se invece tu fai tre livelli man mano che pompi sul livello più alto gli elettroni cadranno spontaneamente su quello intermedio e quindi non potranno più essere deeccitati dal tuo pompaggio.

Spero di essermi spiegato, cmq si capisce bene guardando le quazioni di Einstein

[dario fgx]

Né gli uni né gli altri!
I sei pezzi facili e i sei pezzi meno facili sono comunque più o meno divulgativi, quelli che intendi tu sono proprio le famose "lectures"!
Io le ho in inglese, sono libri molto ben fatti (in particolare quello di meccanica quantistica è sicuramente il libro che meglio tratta gli esperimenti fondamentali) ma piuttosto impegnativi. Tanto per dare un'idea, quello di elettrodinamica è ad un livello confrontabile - anche se parecchio meno formale - con il quello del Jackson!

capisco.si in effetti risparmia ogni formalità e questo è ottimo x me.
io li ho in inglese con la traduzione in italiano.