oscillatore armonico...

[serbring]

E' una domanda stupida, ma queste le ho fatte 4 anni fá e non mi vengono. Nell'oscillatore armonica, una volta trovata la legge del moto e dopo aver scoperto che le radici dell'equazione caratteristica sono complesse ed immaginarie, in molti testi prendono solamente la parte reale dell'integrale generale. Qualcuno sá il perché, non prendono anche la parte immaginaria?

[pietro84]

E' una domanda stupida, ma queste le ho fatte 4 anni fá e non mi vengono. Nell'oscillatore armonica, una volta trovata la legge del moto e dopo aver scoperto che le radici dell'equazione caratteristica sono complesse ed immaginarie, in molti testi prendono solamente la parte reale dell'integrale generale. Qualcuno sá il perché, non prendono anche la parte immaginaria?

l'equazione dell'oscillatore armonico è:

x''(t) + (w^2) * x(t)=0
x(0)=x0
x'(0)=x10

w è un parametro reale


l'integrale generale è:

x(t)=c0 e^jwt + c1 e^-jwt
utilizzando le formule di Eulero si ottiene

x(t)=(c0+c1) cos(wt) +j(c0-c1)sen(wt) dove c0 e c1 sono due costanti complesse.


sceglendo (c0,c1): c0=(A-jB)/2 , c1=(A+jB)/2
con A e B numeri reali ottieni il seguente problema di Cauchy:

x(t)=Acos(wt)+Bsen(wt)
x(0)=x0
x'(0)=x10

[pietro84]

ps: le radici si dicono complesse e coniugate :stordita:

[D.O.S.]

aggiungerei che viene considerata solo la parte reale perchè una soluzione complessa di questo problema non avrebbe senso "fisico"

[User111]

http://utenti.lycos.it/wildlife/armonico.htm

[serbring]

l'equazione dell'oscillatore armonico è:

x''(t) + (w^2) * x(t)=0
x(0)=x0
x'(0)=x10

w è un parametro reale


l'integrale generale è:

x(t)=c0 e^jwt + c1 e^-jwt
utilizzando le formule di Eulero si ottiene

x(t)=(c0+c1) cos(wt) +j(c0-c1)sen(wt) dove c0 e c1 sono due costanti complesse.


sceglendo (c0,c1): c0=(A-jB)/2 , c1=(A+jB)/2
con A e B numeri reali ottieni il seguente problema di Cauchy:

x(t)=Acos(wt)+Bsen(wt)
x(0)=x0
x'(0)=x10

Ora mi è chiaro grazie...

[User111]

l'equazione dell'oscillatore armonico è:

x''(t) + (w^2) * x(t)=0
x(0)=x0
x'(0)=x10

w è un parametro reale


l'integrale generale è:

x(t)=c0 e^jwt + c1 e^-jwt
utilizzando le formule di Eulero si ottiene

x(t)=(c0+c1) cos(wt) +j(c0-c1)sen(wt) dove c0 e c1 sono due costanti complesse.


sceglendo (c0,c1): c0=(A-jB)/2 , c1=(A+jB)/2
con A e B numeri reali ottieni il seguente problema di Cauchy:

x(t)=Acos(wt)+Bsen(wt)
x(0)=x0
x'(0)=x10

ma non si tratta di un oscillatore armonico smorzato da una forza d'attrito viscoso [F=-bv] nel caso in cui il delta dell'equazione di secondo grado (associata all'equazione differenziale [m(d^2x/dt^2)+(kx)+bv=0] dei coefficenti "a1,a2" [soluzione dell'equazione x(t)=Ae^(a1*t)+Be^(a2*t)] sia minore di zero?(in quel caso ci sono le radici complesse. Giusto?)

[pietro84]

ma non si tratta di un oscillatore armonico smorzato da una forza d'attrito viscoso [F=-bv] nel caso in cui il delta dell'equazione di secondo grado (associata all'equazione differenziale [m(d^2x/dt^2)+(kx)+bv=0] dei coefficenti "a1,a2" [soluzione dell'equazione x(t)=Ae^(a1*t)+Be^(a2*t)] sia minore di zero?(in quel caso ci sono le radici complesse. Giusto?)

le radici puramente immaginarie si hanno solo nel caso descritto sopra. quando c'è uno smorzamento si verifica una attenuazione con andamento esponenziale e la soluzione è del tipo:

x(t)= (e^-t/tau) (Acos(wt)+Bsen(wt)) tau è un numero reale
x(0)=x0
x'(0)=x10

questo sistema si chiama massa-molla-smorzatore (un classico esempio nella teoria del sistemi)
il delta è minore di zero in entrambi i casi

[User111]

ok. MI e' chiaro.