teorema di unicità del limite

[Python]

ciao

il giorno 11 ho l'esame di matematica generale
studiando per prepararmi stavo vedendo il teorema di unicità del limite

lo svolgimento è semplice
solo non capisco alla fine in base a cosa posso dire che non ci siano due valori diversi di l

mi spiego

devo dimostrare che il lim x->p di f(x) sia uguale a l ed anche uguale a l'

dunque l ed l' devono essere diverso, quindi pongo che l sia < di l'

li metto insieme
l - epsilon < l' - epsilon < f(x) < l + epsilon < l' + epsilon

da cui isolo
l' - epsilon < l + epsilon

con cui arrivo alla fine

epsilon > ( l' - l ) / 2

e da qui, come faccio a spiegarmi che non possano essere diversi?
col fatto forse che epsilon secondo le ipotesi iniziali deve essere maggiore di 0, quindi (l' - l)/2 deve fare per forza 0?

[Giovannino]

Se non mi ricordo male hai scordato di specificare che epsilon è piccolo a piacere, per cui i due valori convergono sullo stesso.

[djtux]

Leggi qui: http://www.ripmat.it/mate/c/cd/cdea.html
E' il primo risultato di google con la chiave "teorema di unicità del limite".

Ecco il secondo risultato: http://www.matematicamente.it/analisi/teor_unic_limi.html

[th1]

epsilon > ( l' - l ) / 2

e' in contraddizione con la definizione di limite.

In pratica stai dicendo che dal limite ottieni due valori solo se epsilon e' maggiore di questa quantita' finita positiva, mentre la definizione di limite dice che "per qualunque epsilon > 0 ecc..." quindi anche piu' piccolo di ( l' - l ) / 2.

Alternativamente puoi vederla in questo modo: per poter rendere epsilon piccolo a piacere devi avere l' = l e quindi neghi l'ipotesi che fossero diversi dimostrando cosi' per assurdo che la tesi e' falsa.

[Ziosilvio]

devo dimostrare che il lim x->p di f(x) sia uguale a l ed anche uguale a l'

[CUT]

arrivo alla fine

epsilon > ( l' - l ) / 2

e da qui, come faccio a spiegarmi che non possano essere diversi?
Dalla definizione di limite, tu devi avere che, per ogni epsilon > 0, deve esistere delta > 0 tale che, se x è tra x0-delta e x0+delta, allora f(x) è tra l-epsilon ed l+epsilon.
Invece, tu hai appena visto che, se per assurdo ci fossero due limiti distinti, allora gli epsilon positivi non andrebbero tutti bene: ma questo contraddice proprio la definizione di limite!

P.S.: Per le domande di matematica c'è un thread apposito in Scienza e tecnica.

[Python]

tnx

[Python]

mi è venuto un altro dubbio se qualcuno può rispondermi

p.s. lo so che c'è il thread in scienza e tecnica ma è diciamo di "un altro livello", là chiedono integrali di arctg e simili :D, quelle che chiedo io sono cosucce, in fondo non studio matematica o ingegneria per questo preferisco qui


riguarda i limiti notevoli

e precisamente


lim x->0 di senx/x

che per risolverlo si passa a fare questo
(ed è qui che non capisco però come ci si arriva alla prima disequazione a 3 membri)

senx < x < tgx

e poi ovviamente con i vari passaggi (questi poi sono semplicissimi)

1 < x/senx < tgx/senx
1 < x/senx < 1/cosx

si invertono e scambiano

cosx < senx/x < 1

e utilizzando il teorema del confronto o dei carabinieri si spiega il limite per x->0 di senx/x = 1

[giannipas]

Ciao !
Per capire la disequazione basta disegnare un cerchio, un angolo x, seno e tangente.
Ricorda che l'angolo è in radianti quindi l'arco di circonferenza vale r*x. Essendo r=1 per definizione di circonferenza trigonometrica, l'arco che sottende l'angolo x vale proprio x.
Detto ciò, dal disegno vedi che senx<x<tgx.
Spero di aver ricordato bene.... :D

Ciao !