proprieta associativa , commutativa e distributiva ...

[tdi150cv]

ora ... sappiamo tutti le caratteristiche di tali proprieta' giusto ?
Bene il problema pero' e' come dimostrarlo ?
Io davvero non riesco a venirne fuori , mi prendo per buone le proprieta' ma non riesco a trovare una metodica adatta alla dimostrazione.
Quindi per esempio prendendo la distributiva voi come dimostrereste tale ugualglianza :

a U (B int C) = (A U B) int (A U C) ?

Saro rincoglionito io ma proprio non capisco ...

grazie

[NY0]

scusami innanzi tutto in che insieme vorresti verifare queste proprietà? perchè alcuni insiemi non godono delle tue proprietà e quindi non le puoi dimostrare, per il resto mi sembra banale

[tdi150cv]

a me sembra tutto tranne che banale ...
Allora fatto salvo che le relazioni di cui sopra per la proprieta' distributiva sono equivalenti io devo dimostrarlo. Se vogliamo la stessa proprieta' e' applicabile nell'algebra di boole ...
Quindi non capisco cosa tu mi chieda.
ciao

p.s. frequenti informatica a verona ?

[AleX_ZeTa]

La domanda di NY0 era tutto tranne che insensata: le tre proprietà di cui parli valgono solo per alcune particolari strutture algebriche, non sono certo vere in generale per qualunque insieme e per qualunque coppia di operazioni.

In particolare se consideriamo l'algebra di Boole astratta valgono tutte e tre le proprietà: le due operazioni AND e OR sono commutative, associative e vale la proprietà distributiva in entrambi i sensi (cioè AND è distributivo rispetto ad OR e viceversa... cosa che non succede ad esempio nei naturali, dove * gode della proprietà distributiva rispetto a + ma non viceversa). Che quelle proprietà valgano viene direttamente dalla costruzione assiomatica dell'algebra di Boole (vedi http://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra#Formal_definition )

Rimane comunque non chiara la tua richiesta... è vero che c'è uno stretto legame fra l'algebra astratta di Boole e le operazioni fra insiemi, ma per mostrare questo legame bisogna dimostrare a priori le varie proprietà delle operazioni fra insiemi facendo ricorso agli assiomi di ZF. A quel punto si vede che dato un insieme X, l'insieme A=P(X) delle parti di X con le operazioni di intersezione, unione, complementare di insiemi è un'algebra di Boole...

[tdi150cv]

La domanda di NY0 era tutto tranne che insensata: le tre proprietà di cui parli valgono solo per alcune particolari strutture algebriche, non sono certo vere in generale per qualunque insieme e per qualunque coppia di operazioni.

In particolare se consideriamo l'algebra di Boole astratta valgono tutte e tre le proprietà: le due operazioni AND e OR sono commutative, associative e vale la proprietà distributiva in entrambi i sensi (cioè AND è distributivo rispetto ad OR e viceversa... cosa che non succede ad esempio nei naturali, dove * gode della proprietà distributiva rispetto a + ma non viceversa). Che quelle proprietà valgano viene direttamente dalla costruzione assiomatica dell'algebra di Boole (vedi http://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra#Formal_definition )

Rimane comunque non chiara la tua richiesta... è vero che c'è uno stretto legame fra l'algebra astratta di Boole e le operazioni fra insiemi, ma per mostrare questo legame bisogna dimostrare a priori le varie proprietà delle operazioni fra insiemi facendo ricorso agli assiomi di ZF. A quel punto si vede che dato un insieme X, l'insieme A=P(X) delle parti di X con le operazioni di intersezione, unione, complementare di insiemi è un'algebra di Boole...

no no non volevo dire che la domanda di NYO fosse insensata e' che mi trovo a dover dimostrare tale uguaglianza insiemistica e non ho altri elementi ... tutto qui ... ;)

[AleX_ZeTa]

Allora, vogliamo dimostrare che, dati tre insiemi A,B,C vale:
http://operaez.net/mimetex/A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
solo con gli assiomi di ZF: http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_degli_insiemi_di_Zermelo_-_Fraenkel
Per l'assioma di estensionalità basta provare le due inclusioni:
http://operaez.net/mimetex/A \cup (B \cap C) \sub (A \cup B) \cap (A \cup C) e http://operaez.net/mimetex/(A \cup B) \cap (A \cup C) \sub A \cup (B \cap C)

Dimostriamo la prima: sia http://operaez.net/mimetex/x \in A \cup (B \cap C): allora ci sono due possibilità...
1) x sta in A. Allora http://operaez.net/mimetex/x \in A \cup B e http://operaez.net/mimetex/x \in A \cup C quindi x sta anche nella loro intersezione.
2) x sta in B e in C: ancora sta sia in http://operaez.net/mimetex/A \cup B che in http://operaez.net/mimetex/A \cup C e quindi sta nella loro intersezione.
La prima inclusione allora è dimostrata.

Dimostriamo la seconda: sia http://operaez.net/mimetex/x \in (A \cup B) \cap (A \cup C): allora ci sono due possibilità...
1) x sta in A: allora sta anche in A unito l'intersezione degli altri due
2) x sta sia in B che in C: allora sta anche nella loro intersezione, e quindi nell'unione della loro intersezione con A.
E anche la seconda è dimostrata. Quindi i due insiemi sono uguali.

[NY0]

a me sembra tutto tranne che banale ...
Allora fatto salvo che le relazioni di cui sopra per la proprieta' distributiva sono equivalenti io devo dimostrarlo. Se vogliamo la stessa proprieta' e' applicabile nell'algebra di boole ...
Quindi non capisco cosa tu mi chieda.
ciao

p.s. frequenti informatica a verona ?


no frequento ingegneria informatica a pd...ma mi pare che questi siano argomenti di mate base di univr

[NY0]

Allora, vogliamo dimostrare che, dati tre insiemi A,B,C vale:
http://operaez.net/mimetex/A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
solo con gli assiomi di ZF: http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_degli_insiemi_di_Zermelo_-_Fraenkel
Per l'assioma di estensionalità basta provare le due inclusioni:
http://operaez.net/mimetex/A \cup (B \cap C) \sub (A \cup B) \cap (A \cup C) e http://operaez.net/mimetex/(A \cup B) \cap (A \cup C) \sub A \cup (B \cap C)

Dimostriamo la prima: sia http://operaez.net/mimetex/x \in A \cup (B \cap C): allora ci sono due possibilità...
1) x sta in A. Allora http://operaez.net/mimetex/x \in A \cup B e http://operaez.net/mimetex/x \in A \cup C quindi x sta anche nella loro intersezione.
2) x sta in B e in C: ancora sta sia in http://operaez.net/mimetex/A \cup B che in http://operaez.net/mimetex/A \cup C e quindi sta nella loro intersezione.
La prima inclusione allora è dimostrata.

Dimostriamo la seconda: sia http://operaez.net/mimetex/x \in (A \cup B) \cap (A \cup C): allora ci sono due possibilità...
1) x sta in A: allora sta anche in A unito l'intersezione degli altri due
2) x sta sia in B che in C: allora sta anche nella loro intersezione, e quindi nell'unione della loro intersezione con A.
E anche la seconda è dimostrata. Quindi i due insiemi sono uguali.

* in toto sempre a non cadere nel paradosso di Russel