perchè l'analisi matematica si occupa solo di sistemi di coordinate cartesiani

[d@vid]

quante volte avrete sentito dare in matematica definizioni che valgono SOLO in sistemi di coordinate cartesiane?
al di là del fatto che la generalizzazione al caso di altri tipi di sistemi di coordinate può essere + o meno semplice (talvolta è però abbastanza complessa), perchè è necessario sacrificare la bella generalità dei concetti per limitarsi a trattare solo questo tipo di coordinate?

vi faccio il primo esempio che mi viene in mente: chi di voi non ha definito il gradiente di un campo scalare come "il vettore delle derivate parziali" (provate a vedere se in un sistema di coordinate polari è vero)

[chandler8_2]

quante volte avrete sentito dare in matematica definizioni che valgono SOLO in sistemi di coordinate cartesiane?
al di là del fatto che la generalizzazione al caso di altri tipi di sistemi di coordinate può essere + o meno semplice (talvolta è però abbastanza complessa), perchè è necessario sacrificare la bella generalità dei concetti per limitarsi a trattare solo questo tipo di coordinate?

vi faccio il primo esempio che mi viene in mente: chi di voi non ha definito il gradiente di un campo scalare come "il vettore delle derivate parziali" (provate a vedere se in un sistema di coordinate polari è vero)


credo che dipenda dal tipo di approccio che si da alla materia.

in una facoltà dove l'analisi matematica è usata come mezzo per lo studio dei fenomeni fisici e non come materia a ste stante, è logico cercare di fornire gli elementi più consoni allo scopo. Quindi si utilizzano i sistemi cartesiani poichèsono quelli più spesso usati nella tecnica, insieme ai istemi polari

[d@vid]

il mio questito era più "generale" e parte dalla constatazione che in praticamente tutti i libri di analisi in genere sono presentati risultati che valgono solo per coordinate cartesiane

per il discorso della tecnica, bè io credo che sia il contrario. Infatti nel mondo reale non è sempre conveniente usare i sistemi di coordinate. Spesso sono convenienti molti altri sistemi di riferimento (es ellittici) il cui studio non è mai compreso nell'analisi matematica :confused:

[pietro84]

quante volte avrete sentito dare in matematica definizioni che valgono SOLO in sistemi di coordinate cartesiane?
al di là del fatto che la generalizzazione al caso di altri tipi di sistemi di coordinate può essere + o meno semplice (talvolta è però abbastanza complessa), perchè è necessario sacrificare la bella generalità dei concetti per limitarsi a trattare solo questo tipo di coordinate?

vi faccio il primo esempio che mi viene in mente: chi di voi non ha definito il gradiente di un campo scalare come "il vettore delle derivate parziali" (provate a vedere se in un sistema di coordinate polari è vero)

in realtà il gradiente è definito come rapporto tra integrali e non dipende dalle coordinate. se la def di base fosse questa, sarebbe errata
forse i prof danno definizioni meno generali per non appesantire troppo i corsi di analisi(che ormai durano dalle 60 alle 100 ore ciascuno)

[ironmanu]

in realtà il gradiente è definito come rapporto tra integrali e non dipende dalle coordinate. se la def di base fosse questa, sarebbe errata
forse i prof danno definizioni meno generali per non appesantire troppo i corsi di analisi(che ormai durano dalle 60 alle 100 ore ciascuno)
esatto

[giannola]

in realtà il gradiente è definito come rapporto tra integrali e non dipende dalle coordinate. se la def di base fosse questa, sarebbe errata
forse i prof danno definizioni meno generali per non appesantire troppo i corsi di analisi(che ormai durano dalle 60 alle 100 ore ciascuno)


Il gradiente è il vettore che ha per componenti le derivate parziali di f in (x0, y0).

(analisi matematica, bramanti-pagani-salsa)

[Ziosilvio]

perchè è necessario sacrificare la bella generalità dei concetti per limitarsi a trattare solo questo tipo di coordinate?
Perche' tutti gli spazi vettoriali hanno una base, e quindi un sistema di coordinate cartesiane.
Questo non e' vero per altri sistemi di coordinate: ad esempio, per introdurre le coordinate polari, hai bisogno del concetto di angolo, e quindi ti ci vuole come minimo un prodotto scalare --- che e' una cosa parecchio piu' complicata da ottenere.

[Lucrezio]

Perche' tutti gli spazi vettoriali hanno una base, e quindi un sistema di coordinate cartesiane.
Questo non e' vero per altri sistemi di coordinate: ad esempio, per introdurre le coordinate polari, hai bisogno del concetto di angolo, e quindi ti ci vuole come minimo un prodotto scalare --- che e' una cosa parecchio piu' complicata da ottenere.
*
;)
Comunque anche l'analisi - in particolare quando si studiano equazioni differenziali alle derivate parziali - fa ampio uso delle coordinate polari - ad esempio - e facendo studi sui sistemi lineari di equazioni differenziali si fa sempre un cambio di base per vedere il comportamento asintotico e il cambio di base...
Questo solo per fare alcuni esempio banali ;)

[d@vid]

Il gradiente è il vettore che ha per componenti le derivate parziali di f in (x0, y0).

(analisi matematica, bramanti-pagani-salsa)
quoto questo post per confermare che i libri di analisi la danno per definizione. giustamente errata come qcn ha fatto notare

[d@vid]

Perche' tutti gli spazi vettoriali hanno una base, e quindi un sistema di coordinate cartesiane.
Questo non e' vero per altri sistemi di coordinate: ad esempio, per introdurre le coordinate polari, hai bisogno del concetto di angolo, e quindi ti ci vuole come minimo un prodotto scalare --- che e' una cosa parecchio piu' complicata da ottenere.
non ho capito :confused:

[pietro84]

non ho capito :confused:

tutti gli elementi di un qualsiasi spazio vettoriale possono essere ottenuti come combinazione lineare dei vettori di una base di tale spazio.

quindi se V è uno spazio vettoriale sul campo reale e {v1,v2...vn} è una base di V,per ogni v appartenente a V esiste una ennupla (c1,c2...,cn) tale che

v=c1v1+c2v2+....+cnvn

poichè V è uno spazio sul campo reale le costanti c1,c2...cn sono numeri reali e sono dette coordinate (cartesiane) del vettore v.
quindi si può associare a ogni elemento di uno spazio vettoriale sul campo reale(che può avere qualunque natura!) una ennupla di numeri reali.

ps: naturalmente se V è uno spazio vettoriale sul campo complesso le coordinate dei suoi elementi saranno numeri complessi...

[d@vid]

quindi, se ho capito bene, il succo è:
tutti gli spazi vettoriali ammettono necessariamente un sistema di coordinate cartesiane (nel senso che su di essi è sempre possibile esprimere ogni vettore come combinazione linare di n vettori di tale spazio linearmente indipendenti. I coefficienti di tale combinazione lineare, che formano una n-pla di numeri, consentono di identificare in modo univoco un qualsiasi elemento di tale spazio)
mentre
solo su alcuni di essi è possibile introdurre anche altri sistemi di coordinate (es polari). Affinchè ciò sia possibile è necessario che su tali spazi sia definibile un'operazione di prodotto scalare

:confused:

se è corretto quanto sopra, in che modo c'entra l'operazione di prodotto scalare con le coordinate polari?

[pietro84]

quindi, se ho capito bene, il succo è:
tutti gli spazi vettoriali ammettono necessariamente un sistema di coordinate cartesiane (nel senso che su di essi è sempre possibile esprimere ogni vettore come combinazione linare di n vettori di tale spazio linearmente indipendenti. I coefficienti di tale combinazione lineare, che formano una n-pla di numeri, consentono di identificare in modo univoco un qualsiasi elemento di tale spazio)
mentre
solo su alcuni di essi è possibile introdurre anche altri sistemi di coordinate (es polari). Affinchè ciò sia possibile è necessario che su tali spazi sia definibile un'operazione di prodotto scalare

:confused:

se è corretto quanto sopra, in che modo c'entra l'operazione di prodotto scalare con le coordinate polari?


sì è corretto.
l'angolo(generalizzato) theta che formano due vettori v1 e v2 di uno spazio vettoriale V si determina così:

cos(theta)=(<v1,v2>/||v1*v2||)
dove <v1,v2> è il prodotto interno tra i vettori v1 e v2 e ||v|| è la norma del generico vettore v definita da:

||v||= sqrt(<v,v>)


e quindi senza aver definito un prodotto interno non puoi ricavare l'angolo(e nemmeno il modulo credo)

[d@vid]

sì è corretto.
l'angolo(generalizzato) theta che formano due vettori v1 e v2 di uno spazio vettoriale V si determina così:

cos(theta)=(<v1,v2>/||v1*v2||)
dove <v1,v2> è il prodotto interno tra i vettori v1 e v2 e ||v|| è la norma del generico vettore v definita da:

||v||= sqrt(<v,v>)


e quindi senza aver definito un prodotto interno non puoi ricavare l'angolo(e nemmeno il modulo credo)
grazie mi sei stato di grande aiuto :)

se potessi dirmi anche la definizione generale di gradiente cui accennavi prima te ne sarei grato

[pietro84]

grazie mi sei stato di grande aiuto :)

se potessi dirmi anche la definizione generale di gradiente cui accennavi prima te ne sarei grato

cavolo :eek:
ero convinto in mente a me che stessi parlando del rotore(visto che è una cosa che mi ero chiesto anche io),che è definito come rapporto tra integrali ma che spesso i libri definiscono direttamente in coordinate cartesiane....


cmq il discorso che abbiamo fatto non cambia moltoil gradiente(scrivo di fretta mentre studio :doh: ) è definita in coordinate cartesiane perchè non è necessario introdurre l'ipotesi che lo spazio sia dotato di prodotto interno(di cui necessita ad esempio una definizione in coordinate polari)

[Ziosilvio]

l'angolo(generalizzato) theta che formano due vettori v1 e v2 di uno spazio vettoriale V si determina così:

cos(theta)=(<v1,v2>/||v1*v2||)
dove <v1,v2> è il prodotto interno tra i vettori v1 e v2 e ||v|| è la norma del generico vettore v definita da:

||v||= sqrt(<v,v>)
Allora, semmai, cos(theta)=(<v1,v2>/||v1||*||v2||) ;)

[pietro84]

Allora, semmai, cos(theta)=(<v1,v2>/||v1||*||v2||) ;)

sì scusa ;)