D4rkAng3l
09-06-2006, 17:44
Ciao,
vi propongo 2 esercizi che mi stanno creando qualche problemino...non sò se la mia soluzione è corretta...vi prego di aiutarmi perchè manca pochissimo all'esame di matematica discreta e sò che mi bocceranno :cry:
PRIMO ESERCIZIO:
In quale classe di Z5 si trova il numero 542872^(324)?
Essendo in Z5 avrò 5 classi di equivalenza (una per ogni resto): [0], [1], [2], [3], [4]
Per cui mi trovo a dover risolvere la seguente congruenza:
542872 % x (mod 5) usando il simbolo % per identificare la relazione di congruenza.
la congruenza può essere risolta in: 542872 % 2 (mod 5) perchè (542872 - 2)\9 dà un valore intero e con resto 0.
Ora scompongo in fattori l'esponente 324
324 = 4*81
Per cui:
542872^(324) % 2^324 ne segue che
542872^(324) % 2^(4^81) da cui segue che
542872^(324) % (2^4)^81
Ora mi chiedo in che classe casa 2^4 e per capirlo studio i seguenti casi:
2^0 = 1 e cade nella classe [1]
2^1 = 2 e cade nella classe [2]
2^2 = 4 e cade nella classe [4]
2^3 = 8 e cade nella classe [3]
2^4 = 16 e cade nella classe [1]
Per cui 542872^(324) % ([1])^81 ma ([1])^81 = [1] per cui:
542872^(324) % [1]
questo va bene così? come ragionamento fila?
SECONDO ESERCIZIO:
è simile ma ne sono ancora meno sicuro del primo perchè ho fatto dei giochetti con gli esponenti e non sò se è un po' una porcata quello che ho fatto...
In quale classe modulo 9 cade il numero 34572^(457) ?
Per prima cosa risolvo la seguente congruenza: 34572 % x (mod 9)
quindi: 34572 % 3 (mod 9) perchè (34572 - 3)\9 è un intero con resto 0
Ora provo a scomporre l'esponente 457....non è divisibile per nulla (vuol dire che è primo in Z giusto?)...faccio una porcata e decivo di scrivermi 457 come 456 + 1 quindi:
457 = 456 + 1
Scompongo ora 456 e quindi 456 = 57 * 2^3
Allora ho la seguente congruenza:
34572^(457) % 3^(457) che posso anche scrivere come:
34572^(457) % 3^(456 + 1) che posso quindi riscrivere come:
34572^(457) % (3^(456)) * 3 che posso ulteriormente riscrivere come:
34572^(457) % (3^(57*8)) *3 e ancora:
34572^(457) % ((3^8)^57) *3
Vado ora a studiare in che classe cade 3^8 per cui:
3^0 = 1 quindi cade nella classe [1]
3^1 = 3 quindi cade nella classe [3]
3^2 = 9 quindi cade nella classe [0]
3^3 = (3^2)*3 = [0] * 3 quindi cade nella classe [0]
3^4 = (3^3)*3 = [0] * 3 quindi cade nella classe [0]
....così via fino a 3^8 perchè moltiplicare la classe 0 ogni volta per 3 vuol dire moltiplicare un multiplo di 9 per 3....quindi sempre multiplo di 9 rimane...quindi per finire
3^8 quindi cade nella classe [0]
quindi ho che
34572^(457) % ((3^8)^57) *3
allora 34572^(457) % (([0])^57) * 3
e allora: 34572^(457) % 1*3
34572^(457) % 3
mmm dite che va bene? Scusate se sono stato eccessivamente prolisso ma visto che il forum non supporta i caratteri matematici ho pensato che includere tutti i passaggi potesse rendere più chiaro il tutto
Grazie mille
Andrea
vi propongo 2 esercizi che mi stanno creando qualche problemino...non sò se la mia soluzione è corretta...vi prego di aiutarmi perchè manca pochissimo all'esame di matematica discreta e sò che mi bocceranno :cry:
PRIMO ESERCIZIO:
In quale classe di Z5 si trova il numero 542872^(324)?
Essendo in Z5 avrò 5 classi di equivalenza (una per ogni resto): [0], [1], [2], [3], [4]
Per cui mi trovo a dover risolvere la seguente congruenza:
542872 % x (mod 5) usando il simbolo % per identificare la relazione di congruenza.
la congruenza può essere risolta in: 542872 % 2 (mod 5) perchè (542872 - 2)\9 dà un valore intero e con resto 0.
Ora scompongo in fattori l'esponente 324
324 = 4*81
Per cui:
542872^(324) % 2^324 ne segue che
542872^(324) % 2^(4^81) da cui segue che
542872^(324) % (2^4)^81
Ora mi chiedo in che classe casa 2^4 e per capirlo studio i seguenti casi:
2^0 = 1 e cade nella classe [1]
2^1 = 2 e cade nella classe [2]
2^2 = 4 e cade nella classe [4]
2^3 = 8 e cade nella classe [3]
2^4 = 16 e cade nella classe [1]
Per cui 542872^(324) % ([1])^81 ma ([1])^81 = [1] per cui:
542872^(324) % [1]
questo va bene così? come ragionamento fila?
SECONDO ESERCIZIO:
è simile ma ne sono ancora meno sicuro del primo perchè ho fatto dei giochetti con gli esponenti e non sò se è un po' una porcata quello che ho fatto...
In quale classe modulo 9 cade il numero 34572^(457) ?
Per prima cosa risolvo la seguente congruenza: 34572 % x (mod 9)
quindi: 34572 % 3 (mod 9) perchè (34572 - 3)\9 è un intero con resto 0
Ora provo a scomporre l'esponente 457....non è divisibile per nulla (vuol dire che è primo in Z giusto?)...faccio una porcata e decivo di scrivermi 457 come 456 + 1 quindi:
457 = 456 + 1
Scompongo ora 456 e quindi 456 = 57 * 2^3
Allora ho la seguente congruenza:
34572^(457) % 3^(457) che posso anche scrivere come:
34572^(457) % 3^(456 + 1) che posso quindi riscrivere come:
34572^(457) % (3^(456)) * 3 che posso ulteriormente riscrivere come:
34572^(457) % (3^(57*8)) *3 e ancora:
34572^(457) % ((3^8)^57) *3
Vado ora a studiare in che classe cade 3^8 per cui:
3^0 = 1 quindi cade nella classe [1]
3^1 = 3 quindi cade nella classe [3]
3^2 = 9 quindi cade nella classe [0]
3^3 = (3^2)*3 = [0] * 3 quindi cade nella classe [0]
3^4 = (3^3)*3 = [0] * 3 quindi cade nella classe [0]
....così via fino a 3^8 perchè moltiplicare la classe 0 ogni volta per 3 vuol dire moltiplicare un multiplo di 9 per 3....quindi sempre multiplo di 9 rimane...quindi per finire
3^8 quindi cade nella classe [0]
quindi ho che
34572^(457) % ((3^8)^57) *3
allora 34572^(457) % (([0])^57) * 3
e allora: 34572^(457) % 1*3
34572^(457) % 3
mmm dite che va bene? Scusate se sono stato eccessivamente prolisso ma visto che il forum non supporta i caratteri matematici ho pensato che includere tutti i passaggi potesse rendere più chiaro il tutto
Grazie mille
Andrea