limite strano (per me)

[CioKKoBaMBuZzo]

allora...io ho un limite tendente ad infinito di una funzione, ed uno dei termini del denominatore è

x*sqrt(x^2-1)

la massima potenza della funzione (non di questo termine) è x^2.
raccolgo quindi la massima potenza, faccio le dovute semplificazioni e mi viene

(x*sqrt(x^2-1))/x^2

ora, se io porto la x e la x^2 dentro la radice, viene

sqrt(x^4/x^4 - 1/x^2)

quindi alla fine viene +-1 (quindi dovrei distinguere due casi? oO), ma se io al posto di fare quello, facessi un'operazione che dovrebbe essere analoga, cioè

(x/x^2)*sqrt(x^2-1)

il risultato è 0...

quindi che faccio? :mbe:

[Lucrezio]

posta tutta la funzione che si fa prima ;)
Magari in latex...

[*nicola*]

In effetti se posti tutta la funzione di cui devi calcolare il limite è decisamente meglio. SOlitamente se il termine di grado massimo (nel tuo caso http://operaez.net/mimetex/x^2) è al numeratore e il limite tende a infinito anche il limite della funzione tende ad infinito però dovresti postare l'intera funzione in modo da poter vedere che non cisano cose particolari da considerare.

[CioKKoBaMBuZzo]

non so usare latex sorry :(
la funzione sarebbe

(3x-sqrt(x^2-1))/(x-2)

l'unica cosa che ho fatto è stato moltiplicare sopra e sotto per 3x+sqrt(x^2-1) in modo che venisse il prodotto notevole (il prof dice che nella funzione originale verrebbe fuori una differenza tra quantità infinite, quindi bisogna fare in modo di eliminarla attraverso il prodotto notevole)

[pietro84]

non so usare latex sorry :(
la funzione sarebbe

(3x-sqrt(x^2-1))/(x-2)

l'unica cosa che ho fatto è stato moltiplicare sopra e sotto per 3x+sqrt(x^2-1) in modo che venisse il prodotto notevole (il prof dice che nella funzione originale verrebbe fuori una differenza tra quantità infinite, quindi bisogna fare in modo di eliminarla attraverso il prodotto notevole)

a occhio viene 2 se x---->inf
se nessuno risp tra poco lo faccio su carta e confermo

[pietro84]

guarda,imo basta fare questi ragionamenti:

sqrt(x^2-1)=x se x---->inf
(x-2)=x se x---->inf

quindi si ottiene:
(3x-x)/x

2x/x= 2

[*nicola*]

guarda,imo basta fare questi ragionamenti:

sqrt(x^2-1)=x se x---->inf
(x-2)=x se x---->inf

quindi si ottiene:
(3x-x)/x

2x/x= 2
Confermo anche io, questi limiti si possono effettivamente risolvere in 30 secondi con un po' di teoria degli ordini di infinito oppure con ore di calcoli inutili senza saperla.

[Ziosilvio]

la funzione sarebbe

(3x-sqrt(x^2-1))/(x-2)
Uhm... sembra semplice...

A denominatore, hai un polinomio di primo grado.
A numeratore, hai un polinomio di primo grado meno la radice quadrata di un polinomio di secondo grado, la quale si comporta più o meno come un polinomio di primo grado.
Quindi, per x>2, hai:
3x-sqrt(x^2-1) 3x sqrt(x^2-1)
-------------- = --- - -----------
x-2 x-2 x-2
Di questi, il primo addendo converge a 3.
Per il secondo, osservi che per x>2 vale (x-1)^2 < x^2-1 < x^2, quindi sqrt(x^2-1)/(x-2) è tra (x-1)/(x-2) e x/(x-2): per il Teorema del Confronto hai lim {x-->+oo} sqrt(x^2-1)/(x-2) = 1.
Allora il tuo limite vale 3-1 = 2 ;)

[CioKKoBaMBuZzo]

ehm...insomma io i limiti li dovrei fare l'anno prossimo, quest'anno avendo finito il programma il prof ha deciso di introdurre i limiti a livello elementare...
in teoria li dovrei risolvere raccogliendo la massima potenza...o in questo caso anche col doppio prodotto...teoria degli ordini di infinito e teorema del confronto non li ho mai sentiti in vita mia :stordita:

comunque al di là del risultato, il procedimento che ho scritto io dovrebbe essere cmq giusto no? e allora perchè vengono due risultati diversi?

[Ziosilvio]

il procedimento che ho scritto io dovrebbe essere cmq giusto no?
Dovrebbe essere, ma non è, perché:
la massima potenza della funzione (non di questo termine) è x^2
invece è x, perché x^2 compare sotto radice quadrata, quindi, quando porti fuori, porti fuori x, e non x^2.

[CioKKoBaMBuZzo]

eh si ma ho scritto che per quel termine la massima potenza è x, però nella funzione intera la massima potenza è x^2 (perchè ho fatto venire fuori il prodotto notevole)

[19logan86]

ehm...insomma io i limiti li dovrei fare l'anno prossimo, quest'anno avendo finito il programma il prof ha deciso di introdurre i limiti a livello elementare...
in teoria li dovrei risolvere raccogliendo la massima potenza...o in questo caso anche col doppio prodotto...teoria degli ordini di infinito e teorema del confronto non li ho mai sentiti in vita mia :stordita:

comunque al di là del risultato, il procedimento che ho scritto io dovrebbe essere cmq giusto no? e allora perchè vengono due risultati diversi?


basta raccogliere x :


3x-sqrt(x^2-1)
--------------- =
x-2


x(3-sqrt(1-1/x^2))
--------------------=
x(1-2/x)


3- 1
------= 2 se x ---> inf
1

[CioKKoBaMBuZzo]

eh si ma il prof dice che la funzione originaria così com'è scritta sarebbe del tipo inf. - inf. che è indeterminata, quindi bisogna fare in modo che esca il prodotto notevole per eliminare la radice

[Lucrezio]

Ehi!
Vogliamo provare ad usare un po' LaTeX???
http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1179155&page=1&pp=20

[*nicola*]

ehm...insomma io i limiti li dovrei fare l'anno prossimo, quest'anno avendo finito il programma il prof ha deciso di introdurre i limiti a livello elementare...
in teoria li dovrei risolvere raccogliendo la massima potenza...o in questo caso anche col doppio prodotto...teoria degli ordini di infinito e teorema del confronto non li ho mai sentiti in vita mia :stordita:

comunque al di là del risultato, il procedimento che ho scritto io dovrebbe essere cmq giusto no? e allora perchè vengono due risultati diversi?
Purtroppo invece sono cose che, almeno a me, non hanno spiegato affatto alle superiori e che avrebbero semplificato molto la vita (limitatamente al calcolo dei limiti ovviamente...).
Sono le cose che proprio non capisco, a spiegare senza troppo approfondire gli ordini di infinito (quant basta per il calcolo dei limiti in una variabile reale) basta un'ora scarsa invece si usa il tempo per altre cose inutili.
Ti faccio un esempio: Se ti danno l'equazione di una retta y=mx+q è abbastanza semplice disegnarla nel piano guardando il valore di m e di q. Eppure la mia prof per anni ci ha fatto disegnare le rete con la dannata tabellina dicendoci ogni volta che c'èera un metodo più veloce ma che non ce lo voleva spiegare perchè troppo avanzato...lo ha spiegato a metà della quinta. Sono cose che non stanno nè in cielo nè in terra.

eh si ma il prof dice che la funzione originaria così com'è scritta sarebbe del tipo inf. - inf. che è indeterminata, quindi bisogna fare in modo che esca il prodotto notevole per eliminare la radice
Una forma indeterminata è una forma tipo [0/0], [+ inf - inf] e così via ma non vuol dire che non la si può calcolare ma significa che per risolvere l'esercizio non basta semplicemente sostituire il valore della x nella funzione ma bisogna cambiarla un po'. Solitamente è consigliabile provare ugualmente a sostituire il valore a cui tende la x nella funzione per vedere che tipo di forma indeterminata risulta per scegliere al emglio il metodo da utilizzare.

[CioKKoBaMBuZzo]

ma, in fin dei conti, quello che ho fatto io è stato moltiplicare la funzione per 1 praticamente, dato che sia sopra che sotto ho moltipliato per la stesa quantità
adesso ho capito tutti i vari procedimenti che avete postato (apparte quella di zio silvio :asd: ) ma a parte il risultato in sè mi inquieta il fatto che due cose equivalenti che ho scritto nel primo post diano origine a due risultati diversi

[Composition86]

La soluzione da te scritta all'inizio, mi pare sia proprio sbagliata nel calcolo. Tra l'altro non ha senso portare una x dentro la radice, semmai dovresti sempre cercare di portarle fuori (e ricordati che, in questo caso, porti fuori il valore assoluto di x).

Non è proprio indispensabile fare la razionalizzazione per far venire il limite notevole.

Basta semplicemente spezzare il limite in due e mettere in evidenza la x nei numeratori e nei denominatori. Viene proprio 3-1=2.

[CioKKoBaMBuZzo]

sbagliata in che calcolo? e cmq anche se è meglio portarle fuori, nessuno vieta di portarle dentro no? :stordita:

[Composition86]

Si, non è sbagliato portarla dentro la radice, ma poi tanto la devi portare fuori, no? :)

Comunque, a quanto ho capito, l'errore di calcolo c'è quando dici che raccogli un x^2 in x*sqrt(x^2-1) e ti viene (x*sqrt(x^2-1))/x^2).
Questo non è raccogliere, questo significa soltanto dividere brutalmente per x^2. Se avessi raccolto, il risultato sarebbe stato:
x^2*(x*sqrt(x^2-1))/x^2) , che è ben diverso.

C'è anche un altro errore di calcolo: partiamo da (x*sqrt(x^2-1))/x^2), anche se abbiamo detto che è sbagliata. Tu dici che, portando la x e la x^2 dentro la radice viene sqrt(x^4/x^4 - 1/x^2).
Innanzitutto non c'è una x^2 fuori da portare dentro, c'è solamente una x. E poi se portavi dentro questa x, il risultato sarebbe stato:
sqrt(x^2(x^2-1))/x^2=sqrt(x^4-x^2)/x^2.

Ed infine, come prova del 9: sqrt(x^4/x^4 - 1/x^2) = sqrt(1-(x^-2)), ma eri partito da x*sqrt(x^2-1), che è diverso dal risultato ottenuto.

[CioKKoBaMBuZzo]

Comunque, a quanto ho capito, l'errore di calcolo c'è quando dici che raccogli un x^2 in x*sqrt(x^2-1) e ti viene (x*sqrt(x^2-1))/x^2).
Questo non è raccogliere, questo significa soltanto dividere brutalmente per x^2. Se avessi raccolto, il risultato sarebbe stato:
x^2*(x*sqrt(x^2-1))/x^2) , che è ben diverso.
e infatti nella funzione intera (questa è solo uan parte della funzione che ho postato, ma è proprio questo termine che dà problemi) avrei raccolto un x^2 anche nel numeratore, che si sarebbe semplificato con questo del denominatore, quindi in pratica al posto di fare tutti i passaggi si dice direttamente "divido per l'esponente massimo"

C'è anche un altro errore di calcolo: partiamo da (x*sqrt(x^2-1))/x^2), anche se abbiamo detto che è sbagliata. Tu dici che, portando la x e la x^2 dentro la radice viene sqrt(x^4/x^4 -1/x^2).
esatto, ma io ho saltato un passaggio per evitare di scrivere una roba chilometrica, e oltre a portare dentro la x (che infatti diventa x^2) ho portato dentro anche la x^2 per cui avevo diviso la radice

Ed infine, come prova del 9: sqrt(x^4/x^4 - 1/x^2) = sqrt(1-(x^-2)), ma eri partito da x*sqrt(x^2-1), che è diverso dal risultato ottenuto.
no, io ero partito da (x*sqrt(x^2-1))/x^2 quindi la x al numeratore si semplifica, la x del denominatore la porto dentro e viene giustamente sqrt(1-(1/x^2))

[stbarlet]

(x/x^2)*sqrt(x^2-1)

il risultato è 0...

quindi che faccio? :mbe:


a parte che o non ho capito cosa stai facendo oppure il limite di quella funzione non tende a 0 ma a 1 se usi il prodotto notevole ti viene (8x^2+1)/(x-2)(3x+sqrt(x^2+1) e il limite é =2

[Composition86]

Si, i calcoli sono giusti allora, ma completamente inutili.
Il limite da te postato è semplicissimo da risolvere, non c'è proprio la necessità di razionalizzare e far venire fuori un x*sqrt(x^2-1) al denominatore, che, tra l'altro, non capisco come si possa isolare in quel modo (ed è per questo che non ti riesco a dare una risposta più mirata al problema).
Dopo la razionalizzazione verrebbe infatti:
(8x^2+1)/(3x^2-6x+x*sqrt(x^2-1)-2*sqrt(x^2-1))
ma altro che prodotto notevole, viene proprio un bel casino.

In ogni caso, questo tipo di limiti per x->infinito e senza funzioni trigonometriche, esponenziali, logaritmi ecc. ecc. si risolvono semplicemente mettendo in evidenza dappertutto il termine di grado massimo e possibilmente tirandolo fuori dalla radice. Non ricordo eccezioni.

[CioKKoBaMBuZzo]

alur :D
adesso non voglio sapere il risultato della funzione, non voglio sapere come si risolve nè niente, prendetelo come un gioco di prestigio inutile
il fatto che faccio passaggi inutili non mi interessa, nessuno vieta di scrivere un numero sotto un'altra forma equivalente in matematica
volevo solo far notare che con due passaggi che dovrebbero essere equivalenti vengono due risultati diversi, e questo non deve succedere in matematica, quindi sicuramente c'è un errore :D

io ho la mia bella funzione:
http://operaez.net/mimetex/\frac{3x-\sqrt(x^2-1)}{x-2}
moltiplico questa funzione per un termine uguale a 1, in particolare:
http://operaez.net/mimetex/\frac{3x+\sqrt(x^2-1)}{3x+\sqrt(x^2-1)}
la funzione ora è uguale a:
http://operaez.net/mimetex/\frac{(3x-\sqrt(x^2-1))\cdot(3x+\sqrt(x^2-1))}{(x-2)\cdot(3x+\sqrt(x^2-1))}
al numeratore si può fare il prodotto notevole, quindi:
http://operaez.net/mimetex/\frac{8x^2+1}{3x^2-6x+x\sqrt(x^2-1)-2\sqrt(x^2-1)}
a questo punto raccolgo un x^2 sia al numeratore che al denominatore:
http://operaez.net/mimetex/\frac{x^2\cdot(8+\frac{1}{x^2})}{x^2\cdot\frac{3x^2-6x+x\sqrt(x^2-1)-2\sqrt(x^2-1)}{x^2}}
le x² al numeratore e al denominatore si semplificano, quindi resta:
http://operaez.net/mimetex/\frac{(8+\frac{1}{x^2})}{\frac{3x^2-6x+x\sqrt(x^2-1)-2\sqrt(x^2-1)}{x^2}
ora lasciamo stare il numeratore, e concentriamoci su un termine del denominatore, cioè:
http://operaez.net/mimetex/\frac{x\sqrt(x^2-1)}{x^2}
ora prendiamo 2 strade diverse:

1) http://operaez.net/mimetex/\frac{x}{x^2}\cdot\sqrt(x^2-1)
in questo caso con x-->inf il termine è uguale a 0

adesso invece provo a portare dentro tutte le x
2)http://operaez.net/mimetex/\sqrt(\frac{x^4}{x^4}-\frac{x^2}{x^4})
in questo caso per x-->inf il termine è uguale a +-1

wow ho semi imparato ad usare LaTex :D

[CioKKoBaMBuZzo]

ma...nessuno può dirmi dove si cela il mistero? nelle operazioni con gli infiniti la moltiplicazione non ha la proprietà associativa? (tra l'altro...è giusto proprietà associativa in questo caso? :stordita: )

[stbarlet]

questo limite non servirebbe nemmeno razionalizzarlo.. estrai x dalla prima radice e trovi sai che sqrt(1+1/x^2) vale 1 quindi raccogliendo ti rimarrebbe


x(3+1)
------
x (2+0)

quinid 2

con la razionalizzazione invece hai
x^2(8 + 0)
----------
x^2(3 +1 -0 -0)

che é sempre 2. nn riesco a capire dove tu abbia problemi..


( gli 0 sono tutti gli 1/x o 1/x^2)

poi dovresti distinguere due casi se il limite lo devi fare per
+ e - infinito. se fai il limite per x--> - inf devi cambiare il segno davanti alla radice



mi spiace ma non riesco proprio a capire le espressioni il latex..

[CioKKoBaMBuZzo]

adesso non voglio sapere il risultato della funzione, non voglio sapere come si risolve nè niente, prendetelo come un gioco di prestigio inutile
il fatto che faccio passaggi inutili non mi interessa, nessuno vieta di scrivere un numero sotto un'altra forma equivalente in matematica
ma leggete quello che scrivo..vabbene che sta cosa è inutile ma fate uno sforzo :D
nessuno ha detto al tipo che ha inventato le formule parametriche di fare quei passaggi inutili, però intanto è arivato ad un altra forma per esprimere la stessa cosa :D

[stbarlet]

ma leggete quello che scrivo..vabbene che sta cosa è inutile ma fate uno sforzo :D

ho capito cosa vuoi, ma non riesco a capire come arrivi alle espressioni che dici..

[CioKKoBaMBuZzo]

ma ho scritto tutti i passaggi...quando hai detto non capisco latex intedevi non capisco come è scritto o non so usarlo?

[stbarlet]

ora prendiamo 2 strade diverse:

1) http://operaez.net/mimetex/\frac{x}{x^2}\cdot\sqrt(x^2-1)
in questo caso con x-->inf il termine è uguale a 0

adesso invece provo a portare dentro tutte le x
2)http://operaez.net/mimetex/\sqrt(\frac{x^4}{x^4}-\frac{x^2}{x^4})
in questo caso per x-->inf il termine è uguale a +-1

wow ho semi imparato ad usare LaTex :D


nell`uno quando semplifichi x/x^2 hai 1/x ovvero
sqr(x^2+1)
------------
x

che va a +- 1

é questo che nn cpaisco.. da dove ti slata fuori lo zero in questo elemento

[CioKKoBaMBuZzo]

che sei io faccio

(1/x)*(sqrt(x²-1))

è come se facessi

0*(sqrt(x²-1))

perchè 1/x è 0

[stbarlet]

si ma ti si prsenta una seconda forma di indecisione del tipo 0Xinfche devi risolvere.. infatti tiri fuori la x dalla radice e hai +-1

[CioKKoBaMBuZzo]

oh ecco è questo allora...0*inf è indeterminato? ma come si fa a capire che un'operazione è indeterminata?

[stbarlet]

scusa la non rigorositá ma son fuso :muro: (matura)

sono FI tutte le forme come 0xinf inf - inf inf/inf 1^inf 0^inf 0^0

sono calcoli che puoi risolvere solo con il ragionamento e parte delle tecniche che giá conosci( scomposizione fattorizzazione etc..) piu alcune che imparerai piu avanti.



beato te che sei cosí avanti :muro:




per la domanda come si fa.. beh intanto te ne accorgi quando fai i calcoli con il limite.. quello 1/x tende a zero ma non lo é, prorpio perché non é zero non puoi applicare calcoli matematici per risolverla.. devi appunto usare quelle tecniche