Applicazioni Lineari

[cagnaluia]

se ho un applicazione lineare del tipo:

T:R5 --> R4

http://img210.imageshack.us/img210/3618/matrice6ma.jpg

poi come trovo

1. immagine di T... ImT
2. il kernel di T... KerT
3. verificare se (1 2 3 3) appartiene a ImT

[Ziosilvio]

Dire che un'applicazione T, da uno spazio vettoriale V a uno spazio vettoriale W, è lineare, significa dire che il valore di T su una combinazione lineare di vettori, è uguale alla combinazione lineare corrispondente dei valori di T sui singoli vettori.

L'immagine di T è l'insieme Im T di tutti i vettori di W che sono immagine di qualche vettore di V; ed è un sottospazio vettoriale di W.
Il nucleo di T è l'insieme Ker T dei vettori di V la cui immagine mediante T è il vettore nullo di W; ed è un sottospazio vettoriale di V.
Per trovare nucleo e immagine conviene ricordare che dim Ker T + dim Im T = dim V.
Nel caso in cui T sia rappresentata mediante una matrice A, è utile ricordare che le componenti della j-esima colonna di A sono le coordinate dell'immagine mediante T del j-esimo vettore della base di V; in particolare, il rango di A, rg A, è uguale a dim Im T.

Nel tuo caso hai:

| 1 0 2 -1 0 |
| 0 1 0 3 0 |
A = | 2 1 4 0 2 |
| 1 2 2 4 2 |
Prendendo la prima, seconda, e quinta colonna hai:

| 1 0 0 |
| 0 1 0 |
B = | 2 1 2 |
| 1 2 2 |
che ha evidentemente rango 3, quindi dim Im T >= 3.
D'altra parte, aggiungendo a B la terza o la quarta colonna di A, ottieni due matrici a determinante zero. Quindi dim Im T = 3, e le colonne di B formano una base di Im T.
Segue che un elemento di Im T deve avere la forma:
a(1,0,2,1)+b(0,1,2,2)+c(0,0,2,2)
ossia w = (a,b,2a+2b+2c,a+2b+2c).
Il nucleo di T si trova determinando soluzioni non banali del sistema Ax=0.
Dovendo aversi dim Ker T = dim V - dim Im T = 5-3 = 2, ti basta trovare due soluzioni linearmente indipendenti del sistema suddetto. E questo lo lascio a te ;)

[cagnaluia]

mah..


io ho trovato questo:

ImT = Span ( (1 0 2 1), (0 1 1 2), (-1 3 0 4))

che è lo span dei pivot's.

mentre il KerT lo trovo ponendo la matrice gaussata = 0 e risolvendo trovo:

KerT = Span ((-2 0 1 0 0), (2 -6 0 2 1))


poi verifico la 3. scrivendo la ImT = valori domanda3, come combinazione lineare.
quindi avrò qualcosa del tipo:

a - c = 1
b +3c = 2
a+b=3
a+2b+4c=3

ma questo sistema non ammette soluzione.

[Ziosilvio]

Trovati alcuni errori nel mio post precedente.
Credo di averli corretti.

[cagnaluia]

Trovati alcuni errori nel mio post precedente.
In fase di correzione.


intendevi questo anche?
a(2,0,0,0)+b(-1,3,-1,-1)+c(0,0,2,2)

[Ziosilvio]

intendevi questo anche?
Guarda: avendo sbagliato a riportare una riga, c'era questo e altro :cry:

Comunque: la soluzione a cui ho finito per arrivare, è analoga alla tua (sempre di tre colonne linearmente indipendenti si tratta), e ha il vantaggio di far vedere subito che (1,2,3,3) non è in Im T.

[cagnaluia]

bene bene! ;)