spazi vettoriali, nn capisco delle cose

[Guts]

il libro dice:
sia V uno spazio vettoriale su R, e supponiamo che sia definita un'operazione che ad ogni coppia di vettori u,v € V associa uno scalare u*v, in modo che siano soddisfatte le 4 proprietà:

1*v=v
s(tv)=(st)v
t(v+w)=tv+tw
(s+t)v=sv+tv

Diremo allora che l'operazione è un prodotto scalare, o prodotto interno, in V, e che V è uno spazio vettoriale con prodotto scalare.
u*v=0 se sono ortogonali.

e fin qui più o meno ho capito, poi fa un esempio:

In R^3 si consideri l'operazione così definita:
(v1,v2,v3)*(u1,u2,u3)=2 v1 u1 + v2 u2 + 3 v3 u3
si verifica facilmente che gli assiomi di prodotto scalare sono soddisfatti. questo dà quindi ad R^3 una struttura di spazio vettoriale con prodotto scalare, diversa da quella euclidea che abbiamo considerato in precedenza.

qualcuno mi spiega cos'è sta roba pls.
grazie

[Ziosilvio]

il libro dice:
sia V uno spazio vettoriale su R, e supponiamo che sia definita un'operazione che ad ogni coppia di vettori u,v € V associa uno scalare u*v, in modo che siano soddisfatte le 4 proprietà:

1*v=v
s(tv)=(st)v
t(v+w)=tv+tw
(s+t)v=sv+tv
E qui c'è qualcosa che non va, perché quelle non sono le proprietà del prodotto scalare (dati due vettori, restituisce uno scalare), ma della moltiplicazione di un vettore per uno scalare (dati un vettore e uno scalare, restituisce un vettore).
Te ne accorgi anche solo confrontando i tipi a entrambi i membri dell'equazione.

Quelle del prodotto scalare sono:
- v*v >= 0 per ogni, v, e v*v = 0 se e solo se v = 0;
- v*w = w*v per ogni u,v;
- u*(sv+tw) = s(u*v)+t(u*w) per ogni u,v,w in V, s,t in R.
u*v=0 se sono ortogonali.
Questa in realtà è una definizione: se * è un prodotto scalare su V e v*w=0, allora si dice che v e w sono ortogonali rispetto a *.
poi fa un esempio:

In R^3 si consideri l'operazione così definita:
(v1,v2,v3)*(u1,u2,u3)=2 v1 u1 + v2 u2 + 3 v3 u3
si verifica facilmente che gli assiomi di prodotto scalare sono soddisfatti. questo dà quindi ad R^3 una struttura di spazio vettoriale con prodotto scalare, diversa da quella euclidea che abbiamo considerato in precedenza.

qualcuno mi spiega cos'è sta roba pls
Nel prodotto scalare euclideo avresti "u scalar v" = u1v1 + u2v2 + u3v3.
Questo prodotto è diverso, però se ci fai caso:
- v*v = 2 v1^2 + v2^2 + 3 v3^2, che è non negativo, e nullo se e solo se v=0;
- u*v = v*u, perché se scambi gli ui con i vi, non cambi il risultato;
- u*(su+tv) = s(u*v)+t(u*w), che è più fastidiosa, ma basta sfruttare le proprietà associativa e distributiva
e questo vale per ogni coppia di vettori reali a tre componenti u,v: quindi, * ha tutto il diritto di essere chiamato "prodotto scalare", anche se non è quello "classico".

[Lucrezio]

In realtà non è necessario che un prodotto scalare sia definito positivo... inoltre può essere benissimo degenere!

[Guts]

io nn riesco a capire da dove esce sta roba:

v*v = 2 v1^2 + v2^2 + 3 v3^2

[Ziosilvio]

io nn riesco a capire da dove esce sta roba:

v*v = 2 v1^2 + v2^2 + 3 v3^2
Esce quando poni v=u. Rileggi bene il testo dell'esercizio.

[Ziosilvio]

non è necessario che un prodotto scalare sia definito positivo... inoltre può essere benissimo degenere!
Nel qual caso è semplicemente una forma sesquilineare, ma non un prodotto scalare.
Confronta l'articolo su PlanetMath (http://planetmath.org/encyclopedia/InnerProduct.html).

[Lucrezio]

Nel qual caso è semplicemente una forma sesquilineare, ma non un prodotto scalare.
Confronta l'articolo su PlanetMath (http://planetmath.org/encyclopedia/InnerProduct.html).

Ne sei sicuro?
Da quel che ne so io un prodotto scalare è per definizione una forma bilineare (sesquilineare su C) simmetrica (Hermitiana)...
Poi se vuoi avere uno spazio metrico hai bisogno che il prodotto scalare sia definito positivo, ma è qualcosa di più ;)