rot(grad(T))=0 help

[plutus]

qualcuno mi ricorda perché il rotore del gradiente di un vettore é nullo?

altra cosa: il gradiente prende una funzione e la trasforma in un tensore, no?

la divergenza trasforma un vettore in uno scalare?

ultima cosa: mi scrivete rot((rot(F))Trasposto) in termini indiciali?

minc, mi ricordo pochissimo sta roba...

[Topomoto]

qualcuno mi ricorda perché il rotore del gradiente di un vettore é nullo?
Si dimostra applicando il teorema di Stokes.

[plutus]

Si dimostra applicando il teorema di Stokes.

ok questo é risolto. ;)

resta la scrittura in termini indiciali del rotore del rotore trasposto a darmi problemi...

[uC.ArTaX]

Cosa intendi per termini indiciali?

Cmq il rotore di una grandezza vettoriale F non è (x prodotto vettoriale):

Nabla x F

Dove Nabla = ( d/dx , d/dy , d/dz) (caso tridimensionale e d/d derivate parziali)

Quindi fai il prodotto vettoriale tra nabla e il vettore e ottieni la sua scrittura estesa. Tra l'altro permette di verificare molte proprietà del rotore, divergenza e gradiente (Laplaciani, solenoidalità di un rotore, irrotazionalità di un gradiente...).

[plutus]

per scrittura indiciale intendo:
un tensore di ordine 2: T (con 2 trattini sopra o sotto..) si indica T_i,j (_ per indicare il pedice)

per esempio div T = T_i,ji in termini indiciali

ecco, non riesco a tirarmi fuori il rotore del rotore trasposto di F (tensore di ordine 1)

[AleX_ZeTa]

m... sia e_ijk il tensore di rango 3 totalmente antisimmetrico (e_012 = 1 e e_ijk = (-1)^(ordine della permutazione degli indici)). Diciamo che siamo in R^3 con la base canonica. Allora se F = F_i per i=0...2 rot * (rot(F)^t e D_i è la derivata parziale rispetto a x^i, dovrebbe essere:

(rot * (rot(F)^t)_ij = e_ikj * D_k * e_jmn * D_m * F_n

dove ho sottointeso le somme su indici ripetuti. Spero sia così non ne sono troppo sicuro.

EDIT: avevo scazzato... prova a controllare ora... deve venire un tensore di rango 2 vero?

[plutus]

m... sia e_ijk il tensore di rango 3 totalmente antisimmetrico (e_012 = 1 e e_ijk = (-1)^(ordine della permutazione degli indici)). Diciamo che siamo in R^3 con la base canonica. Allora se F = F_i per i=0...2 rot * (rot(F)^t e D_i è la derivata parziale rispetto a x^i, dovrebbe essere:

(rot * (rot(F)^t)_i = e_ijk * D_j * e_klm * D_l * F_m

dove ho sottointeso le somme su indici ripetuti. Spero sia così non ne sono troppo sicuro.

dopo provo a verificare ;)