Matematica Discreta

[cagnaluia]

hola!!

si torna a scuola.


qualche domandina per l'esame di matematica discreta.. vettori, matrici, spazi vettoriali...etc


1. a parole si può dire che lo Span costituisca l'insieme minimo di vettori che generano lo spazio?

[AleX_ZeTa]

assolutamente no. Un insieme minimale di generatori di uno spazio vettoriale si dice BASE. Lo Span di un insieme di vettori è semplicemente lo spazio vettoriale generato da quei vettori

[cagnaluia]

grazie per il concetto chiarito.



(1) Siano v1 , v2 , v3 , v4 vettori di R4 . Allora è sempre vero che
(a) nessuna delle altre risposte è esatta //OK
(b) sono linearmente dipendenti //non è detto che lo siano
(c) sono linearmente indipendenti //idemo come sopra
(d) generano R4 //lo Span genera vettori....
(e) non generano R4 // ?


(2) Siano v1 , v2 , v3 , v4 vettori di R3 . Allora `e sempre vero che
(a) sono linearmente dipendenti // OK, perchè qui ci sono 4 vettori, almeno uno di loro è dipendente
(b) sono linearmente indipendenti //no, conseguenza del primo
(c) generano R3 //non è detto
(d) non generano R3 //?
(e) nessuna delle altre risposte è esatta // la prima è esatta



(3) Siano v1 , v2 , v3 vettori di R4 . Allora è sempre vero che
(a) non generano R4 // manca un vettore?
(b) sono linearmente dipendenti //nn è detto
(c) sono linearmente indipendenti //nn è detto
(d) generano R4 //non è detto ma nn so rispodere per bene.
(e) nessuna delle altre risposte è esatta // la prima è esatta


(4) Siano v1 , v2 , v3 vettori di R4; v4 ? Span(v1 , v2 , v3 ) . Allora è
sempre vero che
(a) v1 , v2 , v3 , v4 sono linearmente dipendenti //abbiamo un v4 che appartiene allo span dei primi 3 vettori.. quindi è a loro legato
(b) v1 , v2 , v3 , v4 generano R4 // al più è v4 che genera
(c) dim Span(v1 , v2 , v3 ) = 3 // ??
(d) dim Span(v1 , v2 , v3 , v4 ) ? 3 //??



(5) Siano v1 , v2 , v3 vettori di R4 , v4 ? Span(v1 , v2 , v3 ) . Allora è
sempre vero che
(a) v1 , v2 , v3 , v4 non generano R4 // nn lo possono generare perchè v4 è appartenuto allo span di cui sopra...
(b) v1 , v2 , v3 , v4 sono linearmente indipendenti //no, come sopra
(c) dim Span(v1 , v2 , v3 , v4 ) = 3 //??
(d) dim Span(v1 , v2 , v3 , v4 ) ? 3 //??


(6) Siano v1 , v2 , v3 vettori di R4 , v4 ? S pan(v1 , v2 , v3 ) . Allora èsempre vero che
(a) dim Span(v1 , v2 , v3 , v4 ) = dim Span(v1 , v2 , v3 )
(b) sono linearmente indipendenti
(c) generano R4
(d) dim Span(v1 , v2 , v3 , v4 ) > dim Span(v1 , v2 , v3 )

[AleX_ZeTa]

grazie per il concetto chiarito.



(1) Siano v1 , v2 , v3 , v4 vettori di R4 . Allora è sempre vero che
(a) nessuna delle altre risposte è esatta //OK
(b) sono linearmente dipendenti //non è detto che lo siano
(c) sono linearmente indipendenti //idemo come sopra
(d) generano R4 //lo Span genera vettori....
(e) non generano R4 // ?
la A. Sono tutte sbagliate: possono generare R4 come non farlo. B e C giusto quello che hai detto tu


(2) Siano v1 , v2 , v3 , v4 vettori di R3 . Allora `e sempre vero che
(a) sono linearmente dipendenti // OK, perchè qui ci sono 4 vettori, almeno uno di loro è dipendente
(b) sono linearmente indipendenti //no, conseguenza del primo
(c) generano R3 //non è detto
(d) non generano R3 //?
(e) nessuna delle altre risposte è esatta // la prima è esatta
giusta solo la A. La D è sbagliata perchè possono tranquillamente generare R3: prendi la base canonica e un altro vettore a caso


(3) Siano v1 , v2 , v3 vettori di R4 . Allora è sempre vero che
(a) non generano R4 // manca un vettore?
(b) sono linearmente dipendenti //nn è detto
(c) sono linearmente indipendenti //nn è detto
(d) generano R4 //non è detto ma nn so rispodere per bene.
(e) nessuna delle altre risposte è esatta // la prima è esatta
A: sì manca almeno un vettore. D falsa, manca sempre un vettore: non può essere che uno spazio vettoriale di dim=4 è generato da 3 vettori

(4) Siano v1 , v2 , v3 vettori di R4; v4 ? Span(v1 , v2 , v3 ) . Allora è
sempre vero che
(a) v1 , v2 , v3 , v4 sono linearmente dipendenti //abbiamo un v4 che appartiene allo span dei primi 3 vettori.. quindi è a loro legato
(b) v1 , v2 , v3 , v4 generano R4 // al più è v4 che genera
(c) dim Span(v1 , v2 , v3 ) = 3 // ??
(d) dim Span(v1 , v2 , v3 , v4 ) ? 3 //??
A vera. B falso ma non per quello che dici tu: v4 NON può certamente generare R4. E' falsa invece perchè sono sicuramente lin. dip. C e D false, possono avere anche dimensione 1 (supponendo che non siano tutti nulli), basta prenderli uguali o uno multiplo dell'altro.



(5) Siano v1 , v2 , v3 vettori di R4 , v4 ? Span(v1 , v2 , v3 ) . Allora è
sempre vero che
(a) v1 , v2 , v3 , v4 non generano R4 // nn lo possono generare perchè v4 è appartenuto allo span di cui sopra...
(b) v1 , v2 , v3 , v4 sono linearmente indipendenti //no, come sopra
(c) dim Span(v1 , v2 , v3 , v4 ) = 3 //??
(d) dim Span(v1 , v2 , v3 , v4 ) ? 3 //??
A vera, per quello che dici tu: sono lin. dip. Quindi B falsa, C,D come sopra

(6) Siano v1 , v2 , v3 vettori di R4 , v4 ? S pan(v1 , v2 , v3 ) . Allora èsempre vero che
(a) dim Span(v1 , v2 , v3 , v4 ) = dim Span(v1 , v2 , v3 )
(b) sono linearmente indipendenti
(c) generano R4
(d) dim Span(v1 , v2 , v3 , v4 ) > dim Span(v1 , v2 , v3 )
A vera, v4 è lin. dip. dagli altri 3 quindi non cambia la dimensione. B falsa. C falsa. D falsa


(al posto dei simboli strani io vedo dei '?'... ho interpretato tutti come "appartiene", quindi posso aver sbagliato qualcosa)

[cagnaluia]

(al posto dei simboli strani io vedo dei '?'... ho interpretato tutti come "appartiene", quindi posso aver sbagliato qualcosa)

si.. nn ha trasformato correttamente.. è sempre appartiene.


che bello ora guardo :D

[deggial]

4b) falsa perchè v4 è dipendente dagli altri, quindi al massimo possono generare in R3
4d) interpretando il ? come un minore uguale, è vera. (stessa cosa di sopra, al massimo hanno dimensione 3).

ora devo uscire, al ritorno controllo anche la 5 e la 6. Ciao

[cagnaluia]

perfetto.. io prendo appunti.. appunti.. appunti.. che nn guasta mai.
con l'auito di picard.. la scorsa estate passai analisi.. yuk :D


edit: qualcosa che nn va... mah

[cagnaluia]

edit.. perchè nn posso scirvere piu di 20 righe?

[deggial]

controllato anche le ultime, non posso che concordare con le risposte date da alex_zeta

[cagnaluia]

7) Siano U, V sottospazi di R4 tali che dim U = 1, dim V = 2.
Allora la somma U + V `e una somma diretta se e soltanto se
(a) U intersecato V = {0}
(b) U intersecato V = vuoto
(c) U + V = R4
(d) mai

(a) dalla definizione di somma diretta, U intesex V deve dare 0.

PS: come centra la loro dimensione? se centra...

[cagnaluia]

(8) Siano U, V sottospazi di R3 tali che dim U = 1, dim V = 2.
Allora la somma U + V `e una somma diretta se e soltanto se
(a) U + V = R3
(b) U intersecato V != {0}
(c) U intersecato V = vuoto
(d) mai

(a) la loro somma deve soddisfare R3





(9) Siano U, V sottospazi di R3 tali che dim U = 1, dim V = 2.
Allora la somma U + V `e una somma diretta se e soltanto se
(a) U intersecato V = {0}
(b) U + V != R3
(c) U intersecato V = vuoto
(d) mai

(a) come per la (7)





(10) Siano U, V sottospazi di R3 tali che dim U = 2, dim V = 2.
Allora la somma U + V `e una somma diretta se e soltanto se
(a) mai
(b) U + V = R3
(c) U intersecato V != {0}
(d) U intersecato V = vuoto

(a) mai, le due dimensioni non consentono R3, al piu: R4.





(11) Siano U, V sottospazi di R3 , sia B una base di U e C una base di V . Allora
(a) se U + W è una somma diretta, allora B unito C ne è una base
(b) B unito C è sempre una base di U + V
(c) B intersecato C `e sempre una base di U intersecato V
(d) se U + W è una somma diretta B = C

(a)... ma nn ho capito bene, sicuramente dalla definizione.
Beh.. (b) nn è detto; (c) nn è detto; (d) nn centra.





(12) Siano U, V sottospazi di R3 , sia B una base di U e C una base di V . Allora `e sempre vero che
(a) B unito C è un insieme di generatori di U + V
(b) B unito C è una base di U + V
(c) B unito C è un sistema di vettori linearmente indipendenti
(d) B intersecato C è un insieme di generatori di U + V

(a) essendo le loro basi distinte, saranno anche i generatori delle loro somme.
PS: le altre le posso interpretare così:
(b) nn è detto che lo sia, magari C ha un vettore multiplo di un altro contenuto in B.
(c) per lo stesso motivo di cui (b).
(d) di solito no...

[deggial]

Qual è la definizione di somma e somma diretta? Non me le ricordo proprio, se mi rinfreschi la memoria posso provare a rispondere

[AleX_ZeTa]

V + W = Span(V u W)
La somma è diretta sse V intersezione W = {0}

[cagnaluia]

V + W = Span(V u W)
La somma è diretta sse V intersezione W = {0}


come dire che la somma è diretta sse i vettori di V e W sono lin.indip. ;)

[deggial]

allora, quel che mi sento di dire è che è tutto giusto, per la 11 la soluzione è a) e il motivo è:
se U+V è somma diretta, allora i loro vettori sono lin. indipendenti.
quindi B unito C è un insieme di vettori lin. indipendenti, che generano U+V

[cagnaluia]

qualcosa di piu facile.

(19) Sia A una matrice quadrata. Allora A `e invertibile se e soltanto se
(a) le colonne di A sono indipendenti
(b) det(A) = 0
(c) le righe di A sono dipendenti
(d) A = t A (la t è una t all'apice di A)

(a) altrimenti avrei una riga di zeri, e nn potrei fare l'inversa.


(20) Sia A una matrice quadrata. Allora A `e invertibile se e soltanto se
(a) det(A) = 0
(b) le colonne di A sono indipendenti
(c) le righe di A sono dipendenti
(d) A = t A

(a) per definizione e cmq se così nn fosse mi scontrerei con la dipendenza lineare.


(21) Sia A una matrice invertibile e si consideri un sistema lineare della forma Ax = b. Allora
(a) il sistema ha sempre soluzione unica
(b) il sistema pu`o non avere soluzioni
(c) il sistema ha sempre infinite soluzioni
(d) il sistema pu`o avere infinite soluzioni


(22) Sia A una matrice invertibile e si consideri il sistema lineare omogeneo Ax = O. Allora
(a) il sistema ha sempre soluzione unica
(b) il sistema pu`o non avere soluzioni
(c) il sistema ha sempre infinite soluzioni
(d) il sistema non ha mai soluzioni



(23) Sia A una matrice quadrata non invertibile e si consideri un sistema lineare della forma Ax = b. Allora
(a) il sistema pu`o non avere soluzioni
(b) il sistema ha sempre soluzione unica
(c) il sistema ha sempre infinite soluzioni
(d) il sistema non ha mai soluzioni



(24) Sia A una matrice quadrata non invertibile e si consideri il sistema lineare omogeneo Ax = O. Allora
(a) il sistema ha sempre infinite soluzioni
(b) il sistema ha sempre soluzione unica
(c) il sistema pu`o non avere soluzioni
(d) il sistema non ha mai soluzioni


quello della Ax=O e Ax=b nun l'ho capit...

[deggial]

(19) Sia A una matrice quadrata. Allora A `e invertibile se e soltanto se
(a) le colonne di A sono indipendenti
(b) det(A) = 0
(c) le righe di A sono dipendenti
(d) A = t A (la t è una t all'apice di A)

(a) altrimenti avrei una riga di zeri, e nn potrei fare l'inversa.


(20) Sia A una matrice quadrata. Allora A `e invertibile se e soltanto se
(a) det(A) = 0
(b) le colonne di A sono indipendenti
(c) le righe di A sono dipendenti
(d) A = t A

(a) per definizione e cmq se così nn fosse mi scontrerei con la dipendenza lineare

ma sono la stessa domanda!
e tu hai risposto in due modi diversi :eek: :eek:

Comunque una matrice è invertibile se e solo se il suo determinate è diverso da zero. Da qui tutte le conseguenze del caso
(cioè è invertibile se e solo se ha le righe [o colonne] lin. indipendeti tra loro)

[deggial]

21 -> a) l'unica soluzione è x=A^(-1)*b

22 -> a) l'unica soluzione è x=0

23 -> a) ci sono due casi: o il sistema ha infinite soluzioni o non ha soluzioni (dipende da come è fatto b)

24 -> a) è un caso particolare della 23, in questo caso il sistema ha sempre infinite soluzioni.


Ma a cosa ti servono queste domande? Non fai prima a studiare almeno cosa significa Ax=b???

[cagnaluia]

ma sono la stessa domanda!
e tu hai risposto in due modi diversi :eek: :eek:

Comunque una matrice è invertibile se e solo se il suo determinate è diverso da zero. Da qui tutte le conseguenze del caso
(cioè è invertibile se e solo se ha le righe [o colonne] lin. indipendeti tra loro)


scusa è vero.. sulla seconda è != DIVERSO da 0.... nn ho corretto :D

[cagnaluia]

altro....
m.g. è la molteplicità geometrica
m.a. è la molteplicità aritmetica

(13) Sia T appartenente L(R3 , R3 ) un’applicazione lineare che abbia 2 come unico autovalore. Allora T è diagonalizzabile se e soltanto se
(a) m.g.(2) = 3
(b) m.a.(2) = 3
(c) m.g.(3) = 2
(d) m.a.(3) = 2



(14) Sia T appartenente L(R5 , R5 ) un’applicazione lineare i cui autovalori siano 2 e 3. Allora T è diagonalizzabile se e soltanto se
(a) m.g.(2)+m.g.(3) = 5
(b) m.a.(2)+m.a.(3) = 5
(c) m.g.(2) = 2 e m.g.(3) = 3
(d) m.g.(2) = 3 e m.g.(3) = 2



(15) Sia T appartenente L(R4 , R4 ) un’applicazione lineare che abbia 0, 1, 2 e 3 come autovalori. Allora è sempre vero che
(a) T è diagonalizzabile
(b) T può avere ulteriori autovalori (diversi da 0, 1, 2, 3)
(c) T è invertibile
(d) m.g.(1) = m.g.(3)



(16) Sia T appart. L(R4 , R4 ) un’applicazione lineare che abbia 0, 1 e 2
come autovalori. Allora è sempre vero che
(a) T è diagonalizzabile
(b) T può avere ulteriori autovalori (diversi da 0, 1, 2)
(c) T è invertibile
(d) m.g.(1) = m.g.(3)



(17) Sia T appart L(R4 , R4 ) un’applicazione lineare che abbia 0, 1, 2 e 3
come autovalori. Allora è sempre vero che
(a) T non può avere ulteriori autovalori (diversi da 0, 1, 2, 3)
(b) T non è diagonalizzabile
(c) T è invertibile
(d) m.g.(1) = m.g.(3)



(18) Sia T appart. L(R4 , R4 ) un’applicazione lineare che abbia 1, 2, 3 e 4
come autovalori. Allora `e sempre vero che
(a) T è invertibile
(b) T può avere ulteriori autovalori (diversi da 1, 2, 3, 4)
(c) T non è diagonalizzabile
(d) m.g.(1) = m.g.(3)


ok, provo a rivedere la teoria sulle molteplicità

[cagnaluia]

non ho capito bene il discorso della diagonalizzazione..
come influiscono gli autovalori.. gli autospazi e le molteplicità.

Per esempio:

Una matrice quadrata di ordine tre, il cui polinomio caratteristico è x^3 - 3x^2 + 3x -1
è necessariamente diagonalizabile?

Da qui trovo che:

il polinomio si raccoglie in (x-1)^3 e quindi gli autovalori sono solo uno, appunto 1.

Ma da qui nn so piu come continuare...

ho che la molteplicità algebrica è 3... ma nn so da dove venga il 3. forse dal fatto che la matrice è quadrata di ordine 3? o da cos altro?

Poi la traccia della risoluzione dell esercizio dice che: Pertanto è diagonalizzabile se e solo se la molteplicità geometrica, ovvero la dimensione dell'autospazio è uguale a 3

Cosa vuol dire? E meglio.. come si trovano nell ordine:

molteplicità algebrica,
molteplicità geometrica,
autospazio.
?
:muro:

[cagnaluia]

:muro: :mc:

[cagnaluia]

uhff....

perchè se: U c R3 il sottoinsieme definito dall equazione 2x-3y+8z=7
allora U non è un sottospazio vettoriale di R3?
mentre se la stessa equazione fosse nella forma omogenea =0, allora si?