limite, come lo risolvo? [Archivio] - Hardware Upgrade Forum

View Full Version : limite, come lo risolvo?

Guts

04-11-2005, 16:10

Banus

04-11-2005, 16:59

ciao mi stavo guardando il compito di analisi 1 dell'anno scorso visto che tra 2 settimane ci sono le prove in itinere e c'era sto limite da risolvere, solo che nn ho idea di come farlo. mi date una mano pls.
Esercizio particolarmente bastardo, anche usando gli asintotici si deve lavorare parecchio :p

EDIT: ricontrollo i calcoli :p

ARIEDIT: il risultato è sbagliato, controllato a manina (calc di windows con x = 1000000 :D). La prossima volta faccio bene a fidarmi delle mie percezioni :D

PROCEDIMENTO
------------------

Nel denominatore cos(x) = 1 - (x^2)/2 + o(x^2) per x -> 0, quindi:
1 - cos(3/x) = 9/2*1/x^2 + o(1/x^2)
x(1 - cos(3/x)) = 9/2*1/x + o(1/x)

Il numeratore trattalo così:
(x^5 + 5x^4)^1/5 = x (1 + 5/x)^1/5 = x (1 + 5/5x - 1/2*4/5*1/5*5^2/x^2 + o(1/x^2))
(è uno sviluppo di Taylor)

sostituendo si cancellano i primi due termini e rimane:
- 1/2 *4*1/x + o(1/x)

e alla fine il limite dovrebbe essere -4/9.

Guts

04-11-2005, 20:23

gliel'ho fatto risolvere a derive e mi ha dato 0, cmq mi fido. la formula di taylor l'ha spiegata la lezione scorsa ma in 5 min e molto alla cazzo, per quello nn avevo idea di come farlo, vado a studiarmela che è meglio.
grazie

matteo1986

04-11-2005, 20:39

Derive conferma -4/9 :)

Banus

04-11-2005, 20:59

Derive conferma -4/9 :)
Idem, inserendo:
((x^5 + 5*x^4)^(1/5) - x - 1)/(x(1-cos(3/x)))
restituisce il limite giusto.

Guts

04-11-2005, 21:01

allora ho sbagliato a usarlo io, come si fa a scrivere radice quinta in derive? io ho messo ^(1/5) ma magari è sbagliato.
sto cercando di capire come funziona lo sviluppo di taylor ma con risultati poco soddisfcenti. nn è che mi scrivi i passaggi per sviluppare quel denominatore pls? grazie 1000

Banus

04-11-2005, 21:16

allora ho sbagliato a usarlo io, come si fa a scrivere radice quinta in derive? io ho messo ^(1/5) ma magari è sbagliato.
No, è giusto, probabilmente hai tralasciato qualche parentesi.

sto cercando di capire come funziona lo sviluppo di taylor ma con risultati poco soddisfcenti. nn è che mi scrivi i passaggi per sviluppare quel denominatore pls? grazie 1000
Ho saltato quei passaggi perchè è abbastanza lungo :p
Lo sviluppo in serie di Taylor rispetto a un punto x0 si scrive:

f(x) = f(x0) + f'(x0)*(x-x0) + 1/2! f''(x0)*(x-x0)^2 + 1/3! (x-x0)^3 + ...

di solito fermandosi all'esponente n si scrive come ultimo termine o( (x-x0)^n), per dire che tutto quello che segue va a 0 più velocemente di (x-x0)^n e quindi può essere trascurato nel calcolo dei limiti.

Nel nostro caso ho preso:

f(h) = (1+ h)^(1/5)

dove h = 5/x e si sviluppa intorno a h0 = 0.
Inoltre calcoliamo in anticipo f'(h) e f''(h):
f'(h) = 1/5 * (1 + h)^(-4/5)
f''(h) = 1/5 * (-4/5) * (1 + h)^(-9/5)

valutandoli in h0=0 abbiamo:
f'(h0) = 1/5
f''(h0) = -4/5 * 1/5

e quindi:

f(h) = 1 + 1/5 h + 1/2 * (-4/5) * 1/5 * h^2 + o(h^2)

sostituendo:
f(x) = 1 + 1/5 * 5/x + 1/2 * (-4/5) * 1/5 * 5^2/x^2 + o(1/x^2)

Per il coseno è molto più semplice: f'(x) è -sin(x) e f''(x) = -cos(x), in x=0 valgono 0 e -1; ottieni cos(x) = 1 - x^2/2 + o(x^2).

Guts

04-11-2005, 21:40

grazie sto cominciando a capire sto sviluppo in serie

Guts

06-11-2005, 21:34

un altro limite che nn mi viene! mi serve una mano, proprio nn mi riescono.

lim (x-> -inf) sqrt (x^6 + 6x^3 + x^2 sinx) + x^3

il risultato deve essere -3
grazie

Banus

07-11-2005, 07:36

un altro limite che nn mi viene! mi serve una mano, proprio nn mi riescono.
Questo è meno difficile dell'altro, e puoi applicare lo stesso trucco di portare fuori l'esponente massimo (x^6), ma facendo attenzione: la radice quadrata di x^6 è |x^3| e poichè il limite è per x -> -oo, devi prendere -x^3 (x^3 è negativo).
Inoltre se guardi bene, il termine x^2 sin(x) lo puoi trascurare nel calcolo (ma devi dire perchè ;) ).

Guts

07-11-2005, 16:53

porto fuori e diventa

lim x->-inf -x^3 sqrt(1+6/x^3+sinx/x^4) +x^3

nn ho idea di come applicare taylor, se io metto 1/x^3 come variabile h che tende a 0, ok nel 6/x^3, ma il seno diventa sin(1/rad3(h))/h^4/3). sinx x^2 si può trascurare? nn mi viene in mente il motivo, la butto li

f(x)=sinx * x^2 f(x)/x^2=sinx per x->-inf f(x)/inf=0=sin(-inf) quindi il seno a - inf è 0.

è una cagata madornale come penso o è giusto?

Banus

07-11-2005, 18:45

nn ho idea di come applicare taylor, se io metto 1/x^3 come variabile h che tende a 0, ok nel 6/x^3, ma il seno diventa sin(1/rad3(h))/h^4/3).
Non complicarti la vita ;)
Cerca sempre di avere se possibile (1+h)^a con h -> 0.
In questo caso h = 6/x^3 + sin(x)/x^4
Poi fai lo sviluppo al primo termine:
(1 + 6/x^3 + sin(x)/x^4)^(1/2) = 1 + 1/2 * (6/x^3 + sin(x)/x^4) + o(h)

f(x)=sinx * x^2 f(x)/x^2=sinx per x->-inf f(x)/inf=0=sin(-inf) quindi il seno a - inf è 0.
Prendendo x^2 rendi tutto più complicato ;)
Hai:
sin(x)/x^4 = o(1/x^3)
Perchè |sin(x)| <= 1 e 1/x^4 = o(1/x^3)
Visto che hai un termine in 1/x^3 il termine con seno lo puoi trascurare. Attenzione perchè se il termine con 1/x^3 veniva cancellato (e dovevi passare a termini superiori dello sviluppo di Taylor) questo ragionamento non potevi più farlo.

Banus

08-11-2005, 06:40

Se posso non uso cose strane come Taylor, in tal caso non è + elementare moltiplicare sopra e sotto per la radice - x^3 ? Poi: un prodotto notevole sopra, si raccoglie x^3 sopra e sotto, muoiono, rimane 6/-2...non è più easy? ;)
Uso gli asintotici (e Taylor se necessario) perchè spesso sono la strada più veloce e permettono di attaccare limiti apparentemente "impossibili" :D
Puoi scrivere i passaggi per esteso? Non riesco a capire dove ottieni il prodotto notevole :p

Guts

08-11-2005, 07:09

Hai:
sin(x)/x^4 = o(1/x^3)
Perchè |sin(x)| <= 1 e 1/x^4 = o(1/x^3)
Visto che hai un termine in 1/x^3 il termine con seno lo puoi trascurare. Attenzione perchè se il termine con 1/x^3 veniva cancellato (e dovevi passare a termini superiori dello sviluppo di Taylor) questo ragionamento non potevi più farlo.
nn c'ho capito un granchè...:( perchè avendo 1/x^3 il seno lo si può trascurare?

Banus

08-11-2005, 08:26

nn c'ho capito un granchè...:( perchè avendo 1/x^3 il seno lo si può trascurare?
Perchè è diviso per x^4, e sin(x) è limitato (continua ad oscillare fra -1 e 1). In pratica l'andamento è quello di 1/x^4 (oscillazioni a parte).
Quando x -> -oo 1/x^4 va a 0 più velocemente di 1/x^3, e quindi puoi dimenticartelo nel calcolo del limite.

Banus

08-11-2005, 14:34

Concordo, però se non è necessario appesantiscono concettualmente il calcolo e se si vuole aiutare qualcuno che ha difficoltà,
Capito adesso, hai cercato di ottenere un prodotto notevole a^2 - b^2 e nel denominatore non si aveva più una forma di indecisione.
Se l'avessi vista subito avrei preferito quella :p