Calcolo integrale

[Lucrezio]

Visto il post di Cristina e visto lo spirito con cui è stata accolta l'idea, ho deciso- complice il fatto che il 14 ho un compitino di analisi, di provare a scrivere una mini-guida al calcolo integrale.
Inizio subito dicendo che come riferimento uso
M. Sassetti: "Calcolo Integrale".
Le formule sono nell'allegato!
Cominciamo
1) Definizione di integrale indefinito
Sia f: A--->R una funzione definita da un sottoinsieme dei numeri reali A a R
Si definiscono primitive della funzione f tutte le funzioni F tali che
F'(x) = f(x) + c, con c costante arbitraria
-Se A è un intervallo, tutte le primitive differiscono fra loro per una costante
Siano F e G due primitive di f.
Per provare l'asserto è necessario dimostrare che (F-G) = c, ovvero che, posta H=F-G, H'(x) = 0 per ogni x.
preso un punto y € A, per ogni x diverso da y possiamo applicare il t. di Lagrange ad H nell'intervallo (x,y):
H(x)-H(y)=H'(c) (x-y).
Affinché la derivata in c sia nulla (hyp), occorre che H(x) = H(y) per ogni coppia di x,y. La funzione H è quindi costante.
-non tutte le funzioni ammettono primitiva


Detto questo, si definisce integrale indefinito di f rispetto ad x l'insieme di tutte le primitive ( qualora esistano ) della funzione f e si indica con il simbolo
(1)

Proprietà
L'integrale è un operatore lineare, ovvero:
(2) e (3)


Metodi di integrazione
1) Integrazione per parti:
La regola di derivazione del prodotto di due funzioni afferma che:
D (fg) = f'g + fg'
quindi:
fg = int f'g dx + int fg' dx ovvero, indicando con F una primitiva d f:
(4).
Questo metodo è estremamente comodo per integrare funzioni del tipo e^x per un'altra funzione, prodotti di funzioni goniometriche etc...

2) Integrazione per sostituzione:
a) sostituzione:
la regola di derivazione delle funzioni composte afferma che:
D F[g(x)]= f[g(x)]g'(x), dove F è una primitiva di f.
quindi, per calcolare la primitiva di una funzione scritta nella forma f[g(x)]g'(x)
si può effettuare la seguente sostituzione:
g(x)=t
g'(x)dx=dt. Riassumendo:
(5)


b) cambiamento di variabile:
Sia g una funzione INVERTIBILE e h la sua inversa:
si può ricondurre l'integrale
int f(x) dx
all'integrale
int f[g(t)]g'(t)dt tramite la sostituzione
x=g(t) => t=h(x)
dt=h'(x)dx.
Se si riesce a calcolare l'integrale qui sopra, trovando una primitiva A(t), la funzione A(h(x)) è una primitiva del primo integrale.
(N.B.: sembra un gran casino, in realtà è abbastanza facile; questo metodo è quello che permette di risolvere il 99% degli integrali complicati!).
Riassumendo:
(6)

Spero di essere stato abbastanza chiaro... e spero che tutto questo sia utile a qualcuno!
Magari fra un po' posto anche una mini-guida all'integrazione di funzioni irrazionali!
Ciao

[Lor3nzo76]

Ottimo ripasso per la mia teoria un po' arrugginita.

Lore

[Lucrezio]

Mi suggeriscono di aggiungere qualche consiglio pratico e qualche esempio.
Metto il link all'ottima tabella degli integrali notevoli suggeritami da lor3nzo76, dove si possono trovare un po' tutte le primitive!
http://www.math.it/formulario/integrali.htm
Adesso veniamo a qualche trucco per risolverli e alle sostituzioni più comode!
Per cominciare, bisogna vedere se la funzione integranda è razionale.
In questo caso è sempre possibile trovare una primitiva riconducendo la funzione integranda alla derivata di una potenza, di un logaritmo o di un arcotangente.
la prima cosa da fare è la divisione fra numeratore e denominatore, se N è di grado maggiore di D: in questo modo si riesce ad ottenere un polinomio ( integrabile ) e un quoziente con il denominatore di grado maggiore (N/D = Q + R/D, Q= quoziente, R= resto ).
Poi bisogna cercare di scomporre il denominatore, utilizzando quando necessario anche i numeri complessi. Facciamo un esempio: se il denominatore fosse x^4+4, si pone x^4=-4 che ha quattro soluzioni complesse coniugate a due a due: 1+-i e -1+-1.
se si moltiplicano a due a due le soluzioni coniugate si ottiene la scomposizione reale: (x-1-i)(x-1+1)=x^2-2x+2 e
(x+1-i)(x+1+i)=x^2+2x+2.
quindi bisogna cercare di spezzare la frazione in due, utilizzando i pezzi trovati. Il problema è come cercare di dividere la frazione: a seconda delle radici del polinomio scomposto, infatti, cambiano le cose!
In generale, se il polinomio da scomporre presenta
-radici reali semplici del tipo x-a:
si cerca una scomposizione del tipo C/(x-a)
-radici complesse coniugate ( e quindi la scomposizione porta ad un polinomio di 2° grado del tipo x^2+ax+b ):
si cerca una scomposizione del tipo (Cx+D)/(x^2+ax+b)
-radici non semplici ( vi auguro di non trovarne )
in questo caso prendete il "pezzo di scomposizione che ha radici non semplici ( di solito capita quando avete un fattore elevato ad un esponente, del tipo x^2, o (x-2)^2: questo crea radici multiple! ), e ci mettete sopra un polinomio di grado inferiore di uno ( es: se sotto avete x^2+1 mettete un polinomio tipo Ax+B ). Quindi... ahimé! derivate il tutto e trovate i coefficienti.
La parte buona del discorso è che la scomposizione adesso ha un termine del tipo D ( ), ovvero la derivata di quello che avete trovato, la cui integrazione non crea assolutamente problemi!
Spero di non aver incasinato troppo la spiegazione!
Faccio un esempio:
(1)
il denominatore ha come radici 0 ( doppia ) e 2 ( semplice ).
Cerco una scomposizione del tipo
(2)
ovvero
(3)
dando comun denominatore e ponendo il polinomio ottenuto uguale ad x+2 per ogni x si ottiene A=-1, B=1, C=1. Quindi la scomposizione cercata è
(4)
L'integrale è quindi
(5)


Nel prossimo post aggiungo la parte sulle funzioni irrazionali.
fatemi sapere cosa ne pensate!

[Goldrake_xyz]

Un piccolo consiglio matematico

Si può vedere anche : Manuale di Matematica dei "famosi"
libri Shaum... Okkio xò che sono molto vecchi
Io inoltre metterei frà gli integrali da ricordare anche :
int(Sen(x)/x,dx) che come è noto si integra x serie.
x le funzioni razionali fratte, è meglio dotarsi di programma
che calcola i sistemi di eq. lineari.

Mi ricordo anche che il Derive DOS calcolava anche
per x -1 a 1 l'integrale di x^-2 in dx
Invece sotto Windows non ci riesce più
Perchè ???

Ciao.

[Goldrake_xyz]

Complimenti Lucrezio, mi sembra un' ottima idea di fare una guida
sugli integrali.

Forse sarebbe anche utile allegare dei file x mostrare
le varie formule e i vari passaggi scritti in "pretty print"
"(x+2)/(x^2(x-2))" sarebbe più bello, scritto così :

         x + 2 
   ----------------
       2    
    x     (x - 2)

Altrimenti, e questa è da intendersi come mia opinione personale,
si rischia di scrivere geroglifici, abbastanza incomprensibili.
(x mè la matematica è già difficile così _)

[Lucrezio]

magari domani con più tempo, quando aggiungo la parte sulle funzioni irrazionali, allego anche i file con le formule scritte bene, come ho fatto nel primo post!

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da Goldrake_xyz
Si può vedere anche : Manuale di Matematica dei "famosi"
libri Shaum...

Schaum!

Okkio xò che sono molto vecchi

Io li ho usati, quindi sono vecchia!

Cmq...sta venendo proprio bene questo thread!

Mi associo al consiglio sul "pretty print"... Pensate, i nostri vecchi prof scrivevano le formule sui loro libri proprio come le dobbiamo scrivere noi sul forum!

         x + 2 
   ----------------
       2    
    x     (x - 2)

[Lucrezio]

visto le voci autorevoli... dovrò adeguarmi!
non è che va bene anche un file gif con le formule come ho fatto nel primo post?
soprattutto per gli esempi che ho intenzione di mettere... già con open office si fa fatica, con pretty-print mi sa che i risultati non sarebbero il massimo...


OK ho bisogno di supporto tecnico... come si fa ad inserire delle immagini non come link ( oppure: che me le pubblica e mi fa mettere il link? )

[ChristinaAemiliana]

Per le immagini puoi usare:

http://www.imageshack.us/

Puoi usare il servizio liberamente, oppure registrandoti. Se ti registri avrai anche la possibilità di cancellare, sostituire, rinominare le immagini, etc...

Le immagini uppate non vengono cancellate a meno che non giacciano inutilizzate per un anno.

[Lucrezio]

Veniamo alla parte più interessante ed utile, la mini-guida "dio me la mandi buona" all'integrazoine delle funzioni più cattive...
Tutte le funzioni goniometriche e quelle irrazionali possono essere razionalizzate con opportune sostituzioni, prima di vedere in che modo... ahimé un piccolo formulario di goniometria!

funzioni goniometriche
Per le funzioni goniometriche la sostituzione razionalizzante universale è
t = tgx/2
senx = 2t/(1+t^2)
cosx = (1-t^2)/(1+t^2)
dx = 2dt/(1+t^2)
Questo razionalizza tutto, ma può incasinare decisamente i calcoli ( se riesco posto un esempio particolarmente complicato... mi ha fatto dannare per due giorni! ); esistono delle sostituzioni che si possono applicare in casi particolari e che rendono la vita molto più semplice:

- la funzione è dispari in senx, ovvero f(-senx) = -f(senx)
la funzione si può scrivere sempre come senx * g(cosx), dove g è una nuova funzione. la sostituzione da operare è
cosx = t
senxdx = -dt

-la funzione è dispari in cosx, ovvero f(-cosx) = -f(cosx)
la funzione si può sempre scrviere come cosx * g(senx) (simmetrico a prima!); la sostituzione da operare è
senx = t
cosxdx = dt

-la funzione è pari in senxcosx ( e qui già le cose si incasinano ) ovvero cambiando segno sia al seno che al coseno il segno della funzione non cambia: f(-cosx, -senx) = f(cosx, senx)
la funzione si può sempre scrivere come g(tgx). La sostituzione è:
tgx = t
dx = dt/(1+t^2)


funzioni irrazionali di polinomi di secondo grado
Una radice in mezzo alle scatole è sempre spiacevole. Per eliminarle esistono delle sostituzioni, che però sono un po' più complicate di quelle qui sopra... distinguiamo intanto due casi:
sia la nostra funzione una funzione razionale R di
sqrt(ax^2+bx+c):

-a>0 (sostituzioni di eulero)

Ok, so che a prima vista sembra una cosa terribile, ma non è così difficile da applicare. un esempio facile che può semplificare molto è:


-a<0
Questa è decisamente più facile!
Per prima cosa bisogna ricondurre il polinomio sotto radice ad una scrittura del tipo (a^2-X^2), completando opportunamente i quadrati
ES: 2x-x^2= 1-(x-1)^2
quindi si sostituisce la funzione X con asent; sempre nell'esempio di prima si pone (x-1)=senx. Sotto radice quindi compare a^2-a^2sen^2t= a^2(1-sen^2t). Ma la radice di questa quantità non è altro che acost!
quindi ci si riconduce al caso di prima.
Completo l'esempio: 2x-x^2= 1-sen^2t; la radice diventa quindi cost.
manca dx=acostdt.
Ok, direi che il grosso è fatto!
Spero che la guida serva a qualcuno, magari più tardi posto un esempio riassuntivo!
Ciao

[nin]

Va bene, quando li avrò capiti scriverò qualcosa sugli integrali in valore principale...
Comunque per ora complimenti

[Goldrake_xyz]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Schaum!

Uhm ... alle superiori prendevo quasi sempre 4 1/2 al compito
di italiano ...
e qualcuno mi ah detto che era anche troppo ! ari

ciao.

[Lucrezio]

Oggi ho fatto il compitino.
Secondo voi varrebbe la pena di postare un altro po' di sostituzioni razionalizzanti?
E qualcosa sulle equazioni differenziali?

[Goldrake_xyz]

Perche no ?

Se mi posso permettere qualche consiglio,
sarebbe sempre meglio scrivere Sen(x) piuttosto che senx
Così si evitano le ambiguità del tipo senx2k che può venir
interpretato come sen(x2k) o sen(x)*2k, ecc. ecc.
Ok, inoltre vale la pena ricordare che :

   D Sen(x) = Cos(x)      se  x è misurato in radianti !
    x

Questo xchè spesso e volentieri (no, non è un film porno _)
In quasi tutte le tabelle riassuntive ci si dimentica spesso di questo
"piccolo" particolare.

Ciao, A presto.

[Buffus]

bellissimo questo 3d!! comnplimenti!!!!

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Buffus
bellissimo questo 3d!! comnplimenti!!!!

Che uppata!
Grazie, sono (quasi) commosso!
Uno spera sempre che a qualcuno possa essere utile...

[Marco2000]

scusate ehh.....e se volessi integrare:

Sin( 3*sqrt(x) + 2 )



dove sqrt è la radice quadrata???

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Marco2000

scusate ehh.....e se volessi integrare:

Sin( 3*sqrt(x) + 2 )



dove sqrt è la radice quadrata???

Hai provato la sostituzione x=y^2?
In questo modo la radice quadrata all'argomento del seno scompare, e puoi integrare per parti.

[Lorekon]

se qualche volenteroso volesse scrivere in termini comprensibili qualcosa sulle trasformate di Fourier glie ne sarei estremamente grato

come se le steste spiegando a un bambino di 9 anni intendo, proprio "Frourier for dummies" diciamo

[Guts]

bel 3ad complimenti! quando comincerò a studiare per analisi I(appello il 21 febbraio(edit)) prenderò un bel po' di spunti!