Definiamo ora l'
integrale improrio (o, con dizione equivalente, in senso generalizzato). E' un concetto molto semplice e intuitivo e allo stesso tempo molto importante per le applicazioni che trova in diversi campi. Consideriamo in proposito funzioni (continue) definite in intervalli non limitati superiormente, in intervalli non limitati inferiormente, in intervalli non limitati inferiormente né superiormente e infine funzioni definite in intervalli limitati ma non limitate in tali intervalli.
Si fa uso del concetto di
funzione integrale:
-
Funzioni definite in intervalli non limitati superiormente:
Sia
 \to \mathbb{R})
, continua in [a,+inf). Se esiste finito
dt})
allora la funzione è integrabile in senso improprio (o generalizzato) in [a,+inf) e si ha:
dx} = {\lim }\limits_{x \to+ \infty } \int_a^x {f(t)dt})
-
Funzioni definite in intervalli non limitati inferiormente:
Sia
, continua in (-inf, a]. Se esiste finito
dt})
allora la funzione è integrabile in senso improprio (o generalizzato) in (-inf,a] e si ha:
dx} = {\lim }\limits_{x \to -\infty } \int_x^a {f(t)dt})
-
Funzioni definite in intervalli non limitati superiormente né inferiormente:
Sia
 \to \mathbb{R})
, continua in (-inf,+inf). In questo caso la f è integrabile in senso improprio in (-inf,+inf) se e solo se esiste un c reale tale che la f è integrabile in senso improprio in (-inf,c] e in [c,+inf). In tal caso si ha:
dx} = \int_{ - \infty }^c {f(x)dx}+ \int_c^{ + \infty } {f(x)dx})
(
N.B.: la scelta di c è assolutamente arbitraria e il risultato dell’integrazione è indipendente da c)
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Funzioni definite in intervalli limitati ma non limitate in tali intervalli:
Sia
 \to \mathbb{R})
, continua in [a,b) e ivi non limitata. La f è integrabile in senso improprio (o generalizzato) in [a,b) se esiste finito
dt})
In tal caso si ha:
dx} = {\lim }\limits_{x \to b^ -} \int_a^x {f(t)dt})
Stesso ragionamento per funzioni definite in intervalli del tipo (a,b] o (a,b) (e ivi non limitate).