View Full Version : Sto benedetto modulo


Zebra75
20-07-2006, 19:14
ma il modulo di una forza che viene simboleggiatto con |F| è se scritto così un numero e sempre positivo che rappresenta solo l'intensità della forza stessa ?

Diciamo che calcolando il modulo, il vettore F perde alcune delle proprietà quindi, diventa solo un numero e sempre positivo; guai a scrivere:

|F| = -100 N :muro:

Didodock
20-07-2006, 19:29
Si, il modulo di un vettore rappresenta la sua lunghezza, quindi nel caso di una forza la sua intensità ed è ovviamente un numero maggiore o uguale a zero. Inoltre non avrebbe senso mettere il segno - perchè:
1) Il modulo di un vettore è per definizione la radice quadrate delle componenti al quadrato
2) Il segni dipende dalla base scelta
Ciao

pietro84
20-07-2006, 19:32
ma il modulo di una forza che viene simboleggiatto con |F| è se scritto così un numero e sempre positivo che rappresenta solo l'intensità della forza stessa ?


sì è un numero sempre positivo.

Diciamo che calcolando il modulo, il vettore F perde alcune delle proprietà quindi, diventa solo un numero e sempre positivo;

è sbagliato dire questo perchè il modulo è semplicemente un numero, non un vettore con delle proprietà in meno :)
un vettore può indicarsi sia con una terna (x,y,z) sia con modulo, direzione e verso.

Zebra75
20-07-2006, 19:33
ma se si scrive F=m*a è un errore ?

giusto sarebbe così: F=m*a

pietro84
20-07-2006, 19:40
ma se si scrive F=m*a è un errore ?

giusto sarebbe così: F=m*a

sì. però spesso quando il vettore ha un solo componente e quindi si riduce a uno scalare spesso trovi scritto direttamente F=ma.
una equazione vettoriale da origine a tre equaz scalari:
Fx=max
Fy=may
Fz=maz

dove
F =(Fx,Fy,Fz)
a =(ax,ay,az)

Zebra75
20-07-2006, 19:46
quindi essendo F=m*a un prodotto scalare e cioè la F che ottengo è un numero, si può omettere la freccia sopra la F oppure si può omettere di metterla in grassetto ?

Sarà banale ma mi sfugge qualcosa :muro:

Lucrezio
20-07-2006, 19:51
quindi essendo F=m*a un prodotto scalare e cioè la F che ottengo è un numero, si può omettere la freccia sopra la F oppure si può omettere di metterla in grassetto ?

Sarà banale ma mi sfugge qualcosa :muro:
No!
F = ma è il prodotto di uno scalare (m) per un vettore (a), quindi ottieni un vettore!
Non è un prodotto scalare ;)
Il modulo della forza è dato da
http://operaez.net/mimetex/|\vec{F}| = \sqrt{\vec{F}\cdot \vec{F}} = m \sqrt{\vec{a}\cdot \vec{a}} = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = m |\vec{a}|

Lucrezio
20-07-2006, 19:54
P.S.: dove ho fatto uso del prodotto scalare canonico, che di solito è quello usato in fisica... per alcune applicazioni risultano comodi altri prodotti scalari, in particolare quello L2... ma questa è un'altra storia :sofico:

Zebra75
20-07-2006, 19:54
No!
F = ma è il prodotto di uno scalare (m) per un vettore (a), quindi ottieni un vettore!
Non è un prodotto scalare ;)
Il modulo della forza è dato da
http://operaez.net/mimetex/|\vec{F}| = \sqrt{\vec{F}\cdot \vec{F}} = m \sqrt{\vec{a}\cdot \vec{a}} = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = m |\vec{a}|


vero, ho toppato :stordita:

Zebra75
20-07-2006, 20:03
però sono andato in palla :muro:

ma il fatto che il risultato di un calcolo dia un vettore o uno scalare è solo conseguenza del calcolo stesso ?

cioè, dipende seolo dal tipo di grandezze che entrano in gioco nel calcolo ?

e non è una cosa fatta a piacere il ce forse non avrebbe senso ? :muro:

Banus
20-07-2006, 20:17
ma il fatto che il risultato di un calcolo dia un vettore o uno scalare è solo conseguenza del calcolo stesso ?
Sono operazioni diverse.
Nel prodotto scalare gli operandi sono due vettori (dello stesso spazio etc) e il risultato è uno scalare.
Nel prodotto per uno scalare uno dei due operandi è un numero (scalare) e il risultato è un vettore.
La differenza è importante perchè esitono spazi vettoriali in cui il prodotto scalare non è neppure definito (ma in quelli che si incontrano solitamente non ci sono problemi :D). Il prodotto per uno scalare invece fa parte della definizione di vettore :p

Zebra75
20-07-2006, 20:42
Sono operazioni diverse.
Nel prodotto scalare gli operandi sono due vettori (dello stesso spazio etc) e il risultato è uno scalare.
Nel prodotto per uno scalare uno dei due operandi è un numero (scalare) e il risultato è un vettore.
La differenza è importante perchè esitono spazi vettoriali in cui il prodotto scalare non è neppure definito (ma in quelli che si incontrano solitamente non ci sono problemi :D). Il prodotto per uno scalare invece fa parte della definizione di vettore :p


faccio un esempio che è meglio :D

se consideriamo il campo elettrico, la sua determinazione per una particella di carica Q si usa la nota formula:

E = k*Q/d^2 con k = costante

a volte viene indicata così

|E| = k*Q/d^2

qual'è la differenza tra i due ?

Banus
20-07-2006, 20:55
E = k*Q/d^2 con k = costante
La formula corretta è:

E = (k*Q/d^2) r

dove r indica il vettore di modulo 1 che rappresenta la direzione del campo elettrico. E' necessario perchè l'identità deve essere fra vettori :D

Ecco, in questo caso hai un esempio di prodotto per uno scalare. Lo scalare è (k*Q/d^2), il vettore r.

La seconda formula si ottiene direttamente dalla prima, applicando gli stessi passaggi che ha usato Lucrezio per l'accelerazione. Questo perchè una proprietà dei moduli è questa:

|cv| = |c|*|v|

c è lo scalare, v il vettore. Ovviamente |.| significa valore assoluto applicato a c, modulo applicato a v. Il prodotto a destra è la normale moltiplicazione fra numeri reali ;)

Il prodotto scalare lo incontri in altri casi, ad esempio quando devi calcolare il lavoro di una forza:

dL = F·dr

e infatti il lavoro è uno scalare.

Zebra75
20-07-2006, 21:04
ma il fatto che ottieni uno scalare o un modulo è conseguenza del calcolo oppure perchè ti viene richiesto ?

F=m*a ottengo un vettore

ma

|F|=m*a ne considero solo la sua intensità e quindi divienbe un numero





esempio

Si consideri un quadrato di lato 1 m con centro nell’origine di un sistema di riferimento XOY. Ai vertici di questo quadrato sono presenti 4 cariche:
q1 = q2 = 3.6 · 10-19 C
q3 = q4 = - 2.2 · 10-19 C
Quale è il campo E dovuto ad ognuna delle 4 cariche nell’origine del sistema di riferimento? Quale è il campo elettrico ed il potenziale complessivo nell’origine O ?

Banus
20-07-2006, 21:34
ma il fatto che ottieni uno scalare o un modulo è conseguenza del calcolo oppure perchè ti viene richiesto ?
Dipende dagli operandi che usi. Se usi vettori avrai una moltiplicazione di un vettore per uno scalare, nel caso ad esempio di massa per accelerazione; se usi scalari, una normale moltiplicazione.

La seconda formula corretta è questa:

|F|=m*|a| = m*a

perchè non puoi eguagliare uno scalare a un vettore.

In generale ti conviene ragionare in termini di vettori, soprattutto se hai poca dimestichezza con questi concetti. Ad esempio per risolvere il problema che hai riportato è necessario vedere non solo il modulo ma anche la direzione del vettore campo elettrico di ciascuna carica, perchè questa influenza il modulo della risultante.

Zebra75
20-07-2006, 22:08
Banus, ma da come l'hai scritta tu la formula per calcolare il campo elettrico, otterrei un vettore in quanto hai tirato in ballo il versore r.

Negli esercizi però, solitamente interessa calcolare il modulo di |E| e non il suo vettore E. La formula è la stessa, il risultato è il medesimo ma cambia la sua interpretazione, e questo crea una certa confusione boh.

Se capisco questo punto, credo di rimettermi in pista.

pietro84
20-07-2006, 22:24
Banus, ma da come l'hai scritta tu la formula per calcolare il campo elettrico, otterrei un vettore in quanto hai tirato in ballo il versore r.

Negli esercizi però, solitamente interessa calcolare il modulo di |E| e non il suo vettore E. La formula è la stessa, il risultato è il medesimo ma cambia la sua interpretazione, e questo crea una certa confusione boh.

Se capisco questo punto, credo di rimettermi in pista.

non si può parlare di vettore di un modulo ma solo di modulo di un vettore.
la formula non è la stessa e il risultato non è lo stesso.
nel primo caso (nel caso del modulo) si cerca un numero, nel secondo caso è richiesta una terna di numeri o una terna modulo,direzione,verso.

pietro84
20-07-2006, 22:26
quando calcoli solo il modulo stai fornendo un'informazione parziale relativa al vettore(non tieni conto della direzione e del verso), ma che a volte può bastare.

Zebra75
20-07-2006, 22:36
non si può parlare di vettore di un modulo ma solo di modulo di un vettore.
la formula non è la stessa e il risultato non è lo stesso.
nel primo caso (nel caso del modulo) si cerca un numero, nel secondo caso è richiesta una terna di numeri o una terna modulo,direzione,verso.


a me sembra che il risultato che si ottiene sia il medesimo, salvo il segno negativo nel caso in cui si consideri il modulo
cmq, continuo a non mettere a fuoco la differenza
se mi chiedono: mi calcoli la forza esercitata su un corpo di massa m che si muove con una accelerazione a
F=m*a
ora mi calcoli la sua intensità

|F|=m*|a|

numericamento ottengo la stessa cosa salvo che nel primo caso considero il risultato un vettore, mentre nel secondo un numero

Banus
20-07-2006, 22:37
Negli esercizi però, solitamente interessa calcolare il modulo di |E| e non il suo vettore E. La formula è la stessa, il risultato è il medesimo ma cambia la sua interpretazione, e questo crea una certa confusione boh.
Come ha già detto pietro84, |E| è un'informazione parziale sul campo elettrico... se consideri solo quella conosci solo l'intensità del campo, se consideri E anche direzione e verso.
Nel tuo problema quando è richiesto il campo di ciascuna carica ti puoi limitare a dare |E|, usando quindi la solita formula senza preoccuparti della direzione dei vettori.
Quando devi calcolare il campo complessivo dei invece considerare il campo elettrico come vettore; ad esempio il campo della prima carica come:

http://operaez.net/mimetex/(F_1\sqrt{2}/2, -F_1\sqrt{2}/2)

dove con F1 indico il modulo del campo della prima carica nell'origine (per non riempire la formula di calcoli :p). Fai lo stesso con le altre e sommi componente per componente, e solo alla fine puoi prendere il modulo. I moduli possono essere sommati direttamente solo se i vettori hanno stessa direzione e verso, ma questo nella maggior parte dei casi (come qui) non succede.

Zebra75
20-07-2006, 22:44
Come ha già detto pietro84, |E| è un'informazione parziale sul campo elettrico... se consideri solo quella conosci solo l'intensità del campo, se consideri E anche direzione e verso.
Nel tuo problema quando è richiesto il campo di ciascuna carica ti puoi limitare a dare |E|, usando quindi la solita formula senza preoccuparti della direzione dei vettori.
Quando devi calcolare il campo complessivo dei invece considerare il campo elettrico come vettore; ad esempio il campo della prima carica come:

http://operaez.net/mimetex/(F_1\sqrt{2}, -F_1\sqrt{2})

dove con F1 indico il modulo del campo della prima carica nell'origine (per non riempire la formula di calcoli :p). Fai lo stesso con le altre e sommi componente per componente, e solo alla fine puoi prendere il modulo. I moduli possono essere sommati direttamente solo se i vettori hanno stessa direzione e verso, ma questo nella maggior parte dei casi (come qui) non succede.

beh, infatti quando calcolo il campo E complessivo determino prima le componenti di E Ex, Ey e poi le sommo

ma scusa se insisto, nella determinazione di E, se io scriv E=.....considero il segno; se scrivo |E|=....l'eventuale segno negativo sparisce. Questa è l'unica differenza che vedo tra |E| ed E

pietro84
20-07-2006, 22:53
beh, infatti quando calcolo il campo E complessivo determino prima le componenti di E Ex, Ey e poi le sommo

ma scusa se insisto, nella determinazione di E, se io scriv E=.....considero il segno; se scrivo |E|=....l'eventuale segno negativo sparisce. Questa è l'unica differenza che vedo tra |E| ed E

|E| è un solo numero per es può essere 10 V/m ,50 V/m, 0.1 V/m nel caso di campi elettrici

E = (10, 3, 43) è un vettore e come vedi non è un numero ma è l'insieme (ordinato) di tre numeri.

Banus
20-07-2006, 22:55
ma scusa se insisto, nella determinazione di E, se io scriv E=.....considero il segno; se scrivo |E|=....l'eventuale segno negativo sparisce. Questa è l'unica differenza che vedo tra |E| ed E
E non comprende solo informazioni sul segno ma anche la direzione, codificata nelle componenti Ex, Ey, (Ez). Ad esempio, per dire che due vettori formano un angolo di 60° piuttosto che 45° non basta il solo segno.

Faccio un esempio per chiarire. La formula:

E = (k*Q/d^2) r

nel caso del campo della prima carica nell'origine si potrebbe scrivere anche così:

http://operaez.net/mimetex/\vec{E} = k \frac{Q}{d^2}(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})

dove ho espresso r nelle sue componenti.

pietro84
20-07-2006, 23:05
forse per renderti conto di come il modulo sia una informazione parziale cerca di fare questo esercizio:

A = (2,4)

|B |= 1

A e B sono due vettori del piano(che rappresentano due forze applicate nell'origine per esempio), cerca di disegnarli entrambi.

Zebra75
21-07-2006, 09:10
se leggi all'esercizio che ho postato, cosa mi dice che devo esprimere il risultato come modulo o come vettore ? :muro:

pietro84
21-07-2006, 15:04
se leggi all'esercizio che ho postato, cosa mi dice che devo esprimere il risultato come modulo o come vettore ? :muro:

ti chiede il campo elettrico nell'origine giusto?
ora la domanda è: cos'è il campo elettrico?
è un vettore naturalmente, perchè per essere caratterizzato bisogna indicare:
1) l'intensità di questo campo (modulo)
2)la direzione del campo
3)il verso

Zebra75
21-07-2006, 19:26
ti chiede il campo elettrico nell'origine giusto?
ora la domanda è: cos'è il campo elettrico?
è un vettore naturalmente, perchè per essere caratterizzato bisogna indicare:
1) l'intensità di questo campo (modulo)
2)la direzione del campo
3)il verso

in effetti...

1) ci si deve sempre ricordare se si sta parlando di un vettore o uno scalare

Nella equazione del campo elettrico E compare come un vettore in quanto viene moltiplicato per il versore r

Mi sto convincendo che non c'è molto da capire ma solo ricordarsi come viene definita la grandezza che ci interessa: se è un vettore e ci viene chiesto di calcolarne il modulo allora ignoriamo direzione e verso e trattiamo il risultato come un numero, tralasciando il segno che potrebbe risultare negativo ma ch enoi rappresenteremo come |modulo| quindi sempre positivo.

Se ci viene chiesto di calcolare la risultante di n vettori, allora manterremo tutte le informazioni del caso vettore e faremo i nostri conti canonici, ricordandoci di stare a lavorare con vettori.

pietro84
21-07-2006, 20:19
in effetti...

1) ci si deve sempre ricordare se si sta parlando di un vettore o uno scalare

Nella equazione del campo elettrico E compare come un vettore in quanto viene moltiplicato per il versore r

Mi sto convincendo che non c'è molto da capire ma solo ricordarsi come viene definita la grandezza che ci interessa: se è un vettore e ci viene chiesto di calcolarne il modulo allora ignoriamo direzione e verso e trattiamo il risultato come un numero, tralasciando il segno che potrebbe risultare negativo ma ch enoi rappresenteremo come |modulo| quindi sempre positivo.

Se ci viene chiesto di calcolare la risultante di n vettori, allora manterremo tutte le informazioni del caso vettore e faremo i nostri conti canonici, ricordandoci di stare a lavorare con vettori.

più che altro bisogna vedere cosa richiede l'esercizio. se vuole che tu indichi tutte le informazioni o solo una.
potrebbe richiede anche di calcolare solo la direzione

Zebra75
21-07-2006, 20:29
più che altro bisogna vedere cosa richiede l'esercizio. se vuole che tu indichi tutte le informazioni o solo una.
potrebbe richiede anche di calcolare solo la direzione

beh si, anche se non mi è mai capitato; solitamente mi si chiede il campo elettrico

nel caso della direzione basta calcolare l'angolo usando le due componenti X e Y, il verso è dato dal segno della carica, se + è uscente se - entrante ?

Lucrezio
22-07-2006, 14:02
beh si, anche se non mi è mai capitato; solitamente mi si chiede il campo elettrico

nel caso della direzione basta calcolare l'angolo usando le due componenti X e Y, il verso è dato dal segno della carica, se + è uscente se - entrante ?
Sì!
In realtà quando farai un corso un po' più avanzato di elettrodinamica lavorerai quasi esclusivamente in termini vettoriali che contengono implicite tutte le informazioni di cui hai bisogno e ti permettono di ridurre il numero di equazioni... almeno formalmente.
Per il campo elettrico esiste una bella formula vettoriale:
http://operaez.net/mimetex/\vec{E} = \int d^3r' \frac{\rho(\vec{r'})(\vec{r}-\vec{r'})}{|\vec{r}-\vec{r'}|^3